Bài 5.16 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước bằng phương pháp lập hàng rào phân vị giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu.

I. Đề bài tập 5.16 (SGK Toán 10 - Trang 88)

Tỉ lệ thất nghiệp ở một quốc gia vào năm 2007 (đơn vị: %) được cho bởi mẫu số liệu sau:

Câu hỏi: Hãy tìm các giá trị bất thường (nhập số liệu dị biệt nếu có) của mẫu số liệu trên.

II. Phương pháp xác định Giá trị bất thường bằng Khoảng tứ phân vị

Để tìm kiếm xem một mẫu dữ liệu có chứa giá trị bất thường nào hay không, các em học sinh cần bám sát quy trình thiết lập "Hàng rào chặn" sau đây:

• Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm để xác định bộ ba tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$.

• Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị:

  $$\Delta Q = Q_3 - Q_1$$

• Bước 3: Thiết lập công thức hai mốc hàng rào tiêu chuẩn:

  • Mốc chặn dưới (Hàng rào dưới): $T_{\min} = Q_1 - 1,5 \cdot \Delta Q$

  • Mốc chặn trên (Hàng rào trên): $T_{\max} = Q_3 + 1,5 \cdot \Delta Q$

• Bước 4 (Đối chiếu): Một giá trị $x$ bất kỳ trong mẫu dữ liệu bị coi là giá trị bất thường khi và chỉ khi nó nằm hoàn toàn ngoài hai mốc chặn trên, tức là:

  $$x < Q_1 - 1,5 \cdot \Delta Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1,5 \cdot \Delta Q$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.16

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu và tìm các mốc Tứ phân vị

Mẫu số liệu đề bài cho gồm tổng cộng $n = 15$ phần tử. Ta tiến hành sắp xếp các giá trị tỉ lệ thất nghiệp này theo thứ tự không giảm (từ nhỏ đến lớn):

• Tìm tứ phân vị thứ hai $Q_2$ (Trung vị):

  Vì dung lượng mẫu $n = 15$ là một số lẻ, giá trị trung vị $Q_2$ chính là phần tử đứng ở vị trí chính giữa (vị trí thứ 8 của dãy số):

  $$\Rightarrow Q_2 = 6,7$$

• Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

  Nửa số liệu bên trái mốc $Q_2$ gồm có 7 giá trị thấp hơn: $3,2;\quad 3,6;\quad 4,4;\quad \mathbf{4,5};\quad 5,0;\quad 5,4;\quad 6,0$. Vì số phần tử là lẻ ($7$), trung vị $Q_1$ chính là giá trị nằm ở chính giữa nửa đầu này (vị trí thứ 4):

  $$\Rightarrow Q_1 = 4,5$$

• Tìm tứ phân vị thứ ba $Q_3$:

  Nửa số liệu bên phải mốc $Q_2$ gồm có 7 giá trị cao hơn: $7,0;\quad 7,2;\quad 7,7;\quad \mathbf{7,8};\quad 8,4;\quad 8,6;\quad 8,7$. Trung vị $Q_3$ chính là giá trị nằm ở chính giữa nửa sau này (vị trí thứ 4 của nửa sau):

  $$\Rightarrow Q_3 = 7,8$$

Bước 2: Tính Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q$)

Áp dụng công thức hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất, ta có:

Bước 3: Thiết lập các mốc hàng rào chặn để kiểm tra giá trị bất thường

Ta tiến hành tính toán hai mốc chặn đại số theo đúng quy tắc tiêu chuẩn $1,5 \cdot \Delta Q$:

• Tính toán mốc chặn dưới:

  $$Q_1 - 1,5 \cdot \Delta Q = 4,5 - 1,5 \cdot 3,3 = 4,5 - 4,95 = -0,45$$

• Tính toán mốc chặn trên:

  $$Q_3 + 1,5 \cdot \Delta Q = 7,8 + 1,5 \cdot 3,3 = 7,8 + 4,95 = 12,75$$

Ta thu được khoảng an toàn cho dữ liệu là đoạn: $[-0,45\%; 12,75\%]$.

Bước 4: Đối chiếu số liệu và kết luận

Quan sát lại mẫu số liệu ban đầu đã sắp xếp, ta nhận thấy:

• Giá trị nhỏ nhất của mẫu là $3,2\%$. Giá trị này hoàn toàn lớn hơn mốc chặn dưới (vì $3,2 > -0,45$). Do đó không có hiện tượng dị biệt ở biên thấp.

• Giá trị lớn nhất của mẫu là $8,7\%$. Giá trị này hoàn toàn nhỏ hơn mốc chặn trên (vì $8,7 < 12,75$). Do đó không có hiện tượng dị biệt ở biên cao.

Như vậy, toàn bộ tất cả các giá trị tỉ lệ thất nghiệp trong mẫu đều nằm trọn vẹn trong phạm vi an toàn của hai mốc hàng rào chặn.

Kết luận cuối cùng: Mẫu số liệu về tỉ lệ thất nghiệp đã cho không có giá trị nào bất thường.

IV. Mẹo tư duy nhanh tránh bẫy cảm tính hình thức (Dành cho thi trắc nghiệm)

Khi làm dạng bài tập này dưới hình thức trắc nghiệm, rất nhiều học sinh mắc sai lầm do nhìn bằng mắt thường một cách cảm tính.

• Lỗi sai phổ biến: Học sinh thấy hai số $3,2$ và $3,6$ nằm cách khá xa nhóm phía sau, hoặc thấy số $8,7$ lớn vượt trội nên vội vàng kết luận luôn đó là các giá trị bất thường mà không đặt bút tính toán mốc hàng rào.

• Mẹo nhẩm siêu tốc: Các em hãy nhớ hệ số nhân kiểm tra của toán học rất rộng, lên tới $1,5$ lần khoảng lõi $\Delta Q$. Khoảng lõi trong bài này là $3,3$, khi nhân thêm hệ số $1,5$ nó tạo ra một biên độ bảo vệ cực kỳ lớn (gần bằng $5$ đơn vị). Do đó, chỉ khi nào trong mẫu xuất hiện một giá trị âm (vô lý đối với tỉ lệ phần trăm) hoặc một số lớn đột biến vượt qua ngưỡng $12\%$ thì mới bị coi là dị biệt. Nhẩm nhanh độ rộng biên độ này giúp các em học sinh chốt ngay đáp án "Không có giá trị bất thường" chỉ trong 3 giây mà không sợ bị đề bài bẫy thị giác!

V. Kết luận

Bài tập 5.16 là một câu hỏi lý thuyết vận dụng nâng cao rất xuất sắc để khép lại toàn bộ hệ thống bài tập Thống kê lớp 10 bộ sách Kết nối tri thức. Bài toán giúp học sinh làm quen với quy trình xử lý và làm sạch dữ liệu nhiễu – một kỹ năng thiết yếu của các nhà phân tích dữ liệu và kinh tế học sau này.