Bài 4.4 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

• Các vectơ tạo bởi các đỉnh của hình vuông (các cạnh và đường chéo):

   $$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{DB}$$

• Các vectơ nối từ tâm $O$ đến các đỉnh và ngược lại:

  $$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BO}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{CO}, \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{DO}$$

Như vậy, tập hợp$S$có tất cả 20 phần tử:

Bước 2: Chia tập hợp $S$ thành các nhóm vectơ bằng nhau

Dựa vào tính chất của hình vuông $ABCD$:

• Các cạnh đối song song và bằng nhau: $AB = DC$, $AD = BC$.

• Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: $OA = OB = OC = OD$. Từ đó, các vectơ nằm trên cùng một đường chéo và đi theo cùng một hướng sẽ bằng nhau.

Chúng ta tìm được các cặp vectơ bằng nhau như sau:

• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (cùng hướng từ trái sang phải, độ dài bằng cạnh hình vuông)

• $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ (cùng hướng từ phải sang trái, độ dài bằng cạnh hình vuông)

• $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (cùng hướng từ trên xuống dưới, độ dài bằng cạnh hình vuông)

• $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$ (cùng hướng từ dưới lên trên, độ dài bằng cạnh hình vuông)

• $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}$ (cùng hướng chếch xuống theo đường chéo $CA$, độ dài bằng nửa đường chéo)

• $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$ (cùng hướng chếch lên theo đường chéo $AC$, độ dài bằng nửa đường chéo)

• $\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OB}$ (cùng hướng chếch lên theo đường chéo $DB$, độ dài bằng nửa đường chéo)

• $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$ (cùng hướng chếch xuống theo đường chéo $BD$, độ dài bằng nửa đường chéo)

Các vectơ đường chéo dài gồm $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{DB}$ không cùng hướng và không cùng độ dài với bất kỳ vectơ nào khác trong tập hợp, nên mỗi vectơ này sẽ đứng riêng thành một nhóm.

Kết luận phân chia 12 nhóm của tập $S$:

• Nhóm 1: $\{ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC} \}$

• Nhóm 2: $\{ \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD} \}$

• Nhóm 3: $\{ \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC} \}$

• Nhóm 4: $\{ \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CB} \}$

• Nhóm 5: $\{ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{CO} \}$

• Nhóm 6: $\{ \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{OC} \}$

• Nhóm 7: $\{ \overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB} \}$

• Nhóm 8: $\{ \overrightarrow{BO}, \overrightarrow{OD} \}$

• Nhóm 9: $\{ \overrightarrow{AC} \}$

• Nhóm 10: $\{ \overrightarrow{CA} \}$

• Nhóm 11: $\{ \overrightarrow{BD} \}$

• Nhóm 12: $\{ \overrightarrow{DB} \}$

IV. Mẹo làm bài nhanh và lưu ý tránh mất điểm

Khi giải bài toán đếm hoặc phân loại vectơ dạng này, các em học sinh rất dễ mắc các sai sót sau:

1. Nhầm lẫn giữa đoạn thẳng và vectơ: Đoạn thẳng $AB$ và $BA$ là một, nhưng vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ hoàn toàn khác nhau (ngược hướng). Do đó luôn phải đếm cả hai chiều.

2. Xét sai hướng trên đường chéo: Ví dụ, kết luận nhầm là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$ là sai. Vì $\overrightarrow{OA}$ hướng về phía đỉnh $A$, còn $\overrightarrow{OC}$ hướng về phía đỉnh $C$, chúng ngược hướng nhau. Cặp đúng phải là $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$ hoặc $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}$.

V. Kết luận

Việc phân nhóm các vectơ bằng nhau trong hình vuông giúp các em học sinh rèn luyện tư duy hình học trực quan rất tốt, chuẩn bị nền tảng vững chắc cho các bài toán cộng trừ vectơ tiếp theo.