Bài 4.8 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp phân tích hình học cụ thể.

I. Đề bài tập 4.8 (SGK Toán 10 - Trang 54)

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các vectơ:

• a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

• b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$

II. Phương pháp tính độ dài vectơ

Lưu ý cốt lõi: Độ dài của một vectơ tổng hoặc hiệu không bằng tổng hoặc hiệu độ dài các cạnh (ví dụ: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| \neq AB + AC$).

Do đó, để tính độ dài, bước đầu tiên các em bắt buộc phải áp dụng các quy tắc toán học (Quy tắc hiệu, quy tắc hình bình hành) để thu gọn biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối thành một vectơ duy nhất, sau đó mới tiến hành tính độ dài đoạn thẳng tương ứng.

III. Lời giải chi tiết bài 4.8

1. Tính độ dài vectơ hiệu: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$

• Bước 1 (Thu gọn vectơ): Xét hai vectơ chung gốc $A$, áp dụng trực tiếp quy tắc hiệu ta có:

  $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$

• Bước 2 (Tính độ lớn): Lấy môđun độ dài hai vế, ta thu được:

  $$|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = CB$$

• Mà theo giả thiết đề bài cho, tam giác $ABC$ là tam giác đều có cạnh bằng $a$ nên độ dài cạnh $CB = a$.

Kết luận: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = a$.

2. Tính độ dài vectơ tổng: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

• Bước 1 (Dựng hình và thu gọn):

  Dựng điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là một hình bình hành.

  Vì tam giác $ABC$ ban đầu là tam giác đều ($AB = AC = a$), nên hình bình hành $ABDC$ có hai cạnh kề bằng nhau, kéo theo tứ giác $ABDC$ là một hình thoi.

  Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hai vectơ chung gốc $A$, ta thu gọn được đường chéo:

  $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = AD$$

• Bước 2 (Tính toán độ dài hình học):

  Gọi $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AD$ và $BC$ của hình thoi. Theo tính chất hình thoi, ta có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường:

  $$M \text{ là trung điểm của } BC \Rightarrow BM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$$
  $$AD = 2AM \quad \text{và} \quad AM \perp BC \text{ tại } M$$

  Xét tam giác $AMB$ vuông tại $M$, áp dụng định lý Pitago ta có:

  $$AB^2 = AM^2 + BM^2 \Rightarrow AM^2 = AB^2 - BM^2$$
  $$AM^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$
  $$\Rightarrow AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

  Từ đây, ta dễ dàng tính được độ dài đường chéo $AD$:

  $$AD = 2AM = 2 \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$$

Kết luận: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = a\sqrt{3}$.

IV. Công thức tính nhanh đường cao tam giác đều (Mẹo trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn tăng tốc độ làm bài trong các đề thi trắc nghiệm, các em hãy thuộc lòng công thức giải nhanh sau:

1. Đường cao của một tam giác đều cạnh $x$ luôn luôn bằng: $\frac{x\sqrt{3}}{2}$. (Ví dụ ở bài toán trên, $AM$ là đường cao tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nên $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$).

2. Khi cộng hai vectơ chung gốc trong một tam giác đều (hoặc hình thoi có góc $60^\circ$), độ dài vectơ tổng bằng 2 lần đường cao:

   $$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2 \times \text{Đường cao} = 2 \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$$

V. Kết luận

Biết cách quy đổi biểu thức vectơ về độ dài đoạn thẳng hình học phẳng phẳng là kỹ năng then chốt giúp các em xử lý gọn gàng các bài toán tìm cực trị vectơ sau này.