Bài 4.17 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, lập luận chặt chẽ giúp các em học sinh đạt điểm tối đa trong các kỳ thi.

I. Đề bài tập 4.17 (SGK Toán 10 - Trang 65)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$, $\vec{b}(4; -1)$ và các điểm $M(-3; 6)$, $N(3; -3)$.

• a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2\vec{a} - \vec{b}$.

• b) Các điểm $O$, $M$, $N$ có thẳng hàng hay không?

• c) Tìm tọa độ điểm $P(x; y)$ để tứ giác $OMNP$ là hình bình hành.

II. Các công thức nền tảng cần bám sát

• Tọa độ theo vectơ đơn vị: Nếu $\vec{u} = x\cdot\vec{i} + y\cdot\vec{j}$ thì tọa độ của vectơ đó là $\vec{u}(x; y)$.

• Điều kiện cùng phương: Hai vectơ $\vec{u}(x_1; y_1)$ và $\vec{v}(x_2; y_2)$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại hằng số $k$ sao cho $x_1 = k \cdot x_2$ và $y_1 = k \cdot y_2$. Nếu các tọa độ khác $0$, ta có tỷ lệ: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

• Tính thẳng hàng: Ba điểm $O, M, N$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ cùng phương với nhau.

III. Lời giải chi tiết bài 4.17

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2\vec{a} - \vec{b}$

• Bước 1: Xác định tọa độ vectơ $\vec{a}$ và tính đại lượng $2\vec{a} - \vec{b}$

  Dựa vào biểu diễn qua hệ vectơ đơn vị của đề bài: $\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} \Rightarrow \vec{a} = (3; -2)$.

  Từ đó ta suy ra: $2\vec{a} = (2 \cdot 3; 2 \cdot (-2)) = (6; -4)$.

  Tiến hành thực hiện phép trừ hai vectơ tọa độ $(2\vec{a} - \vec{b})$:

  $$2\vec{a} - \vec{b} = (6 - 4; -4 - (-1)) = (2; -3)$$

• Bước 2: Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$

  Ta lấy tọa độ điểm cuối $N$ trừ đi tọa độ điểm đầu $M$:

  $$\overrightarrow{MN} = (3 - (-3); -3 - 6) = (6; -9)$$

• Bước 3: Thiết lập mối liên hệ đại số

  Ta nhận thấy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}(6; -9)$ có thể đặt nhân tử chung là số $3$ ra ngoài:

  $$\overrightarrow{MN} = (6; -9) = 3 \cdot (2; -3)$$

  Mà $(2; -3)$ chính là tọa độ của vectơ tổng hợp $2\vec{a} - \vec{b}$ vừa tính được ở trên.

Kết luận: Mối liên hệ giữa hai vectơ là $\overrightarrow{MN} = 3(2\vec{a} - \vec{b})$.

b) Các điểm $O, M, N$ có thẳng hàng hay không?

• Để xét tính thẳng hàng của ba điểm $O(0;0)$, $M(-3;6)$ và $N(3;-3)$, ta tiến hành lập tọa độ hai vectơ chung gốc $O$:

  $$\overrightarrow{OM} = (-3 - 0; 6 - 0) = (-3; 6)$$
  $$\overrightarrow{ON} = (3 - 0; -3 - 0) = (3; -3)$$

• Xét tỷ số giữa các tọa độ tương ứng của hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$:

  Ta thấy: $\frac{-3}{3} = -1$, trong khi đó $\frac{6}{-3} = -2$.

  Vì $-1 \neq -2 \Rightarrow \frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ không cùng phương với nhau.

Kết luận: Vì hai vectơ chung gốc không cùng phương nên ba điểm $O, M, N$ không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó, ba điểm $O, M, N$ không thẳng hàng.

c) Tìm tọa độ điểm $P(x; y)$ để tứ giác $OMNP$ là hình bình hành

• Vì ba điểm $O, M, N$ không thẳng hàng (đã chứng minh ở câu b) nên chúng đủ điều kiện tạo thành 3 đỉnh của một hình bình hành.

• Để tứ giác $OMNP$ tạo thành một hình bình hành, theo quy tắc vòng tròn thứ tự viết liền các đỉnh, ta cần điều kiện cân bằng vectơ cạnh đối song song và cùng hướng sau:

  $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PN}$$

• Ta tiến hành lập tọa độ cho hai vectơ trên:

  • Vectơ $\overrightarrow{OM} = (-3; 6)$

  • Vectơ $\overrightarrow{PN} = (3 - x; -3 - y)$

• Cho các tọa độ tương ứng bằng nhau, ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

  $$\begin{cases} 3 - x = -3 \\ -3 - y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 - (-3) \\ y = -3 - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = -9 \end{cases}$$

Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm để tứ giác $OMNP$ là hình bình hành là $P(6; -9)$.

IV. Mẹo kiểm tra nhanh kết quả hình bình hành (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn tiết kiệm thời gian khi làm các câu hỏi trắc nghiệm tìm tọa độ đỉnh thứ tư của hình bình hành, các em có thể áp dụng tính chất: Trong một hình bình hành, tổng tọa độ của hai đỉnh đối diện luôn bằng nhau.

Với hình bình hành $OMNP$, hai cặp đỉnh đối diện nhau lần lượt là $(O, N)$ và $M, P$. Từ đó ta có công thức tính nhanh:

$$x_O + x_N = x_M + x_P \Rightarrow x_P = x_O + x_N - x_M$$

$$y_O + y_N = y_M + y_P \Rightarrow y_P = y_O + y_N - y_M$$

Áp dụng vào bài toán:

• Hoành độ: $x_P = 0 + 3 - (-3) = 6$

• Tung độ: $y_P = 0 + (-3) - 6 = -9$

• Ta thu được ngay kết quả $P(6; -9)$ chỉ trong vòng 5 giây mà không cần thiết lập hệ phương trình vectơ!

V. Kết luận

Bài tập 4.17 là một bài toán tổng hợp rất tốt giúp học sinh rèn luyện tư duy logic đại số tọa độ phẳng. Việc thành thạo kỹ năng phân tích vectơ đơn vị, xét tỷ lệ cùng phương và lập đẳng thức vectơ cạnh đối sẽ giúp các em dễ dàng chinh phục các câu hỏi điểm 9, 10 trong bài thi học kỳ.