Bài 4.14 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp lập luận toán học logic nhất.

I. Đề bài tập 4.14 (SGK Toán 10 - Trang 58)

Cho tam giác $ABC$.

• a) Hãy xác định vị trí của điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$.

• b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$ bất kỳ, ta luôn có: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$.

II. Lời giải chi tiết bài 4.14

a) Xác định vị trí của điểm $M$

Để giải bài toán này một cách khoa học, chúng ta sẽ chọn một điểm trung gian cố định là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ để chèn vào hệ thức, giúp triệt tiêu các vectơ đỉnh.

• Nhắc lại tính chất trọng tâm: Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, theo định nghĩa ta luôn có hệ thức:

  $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

• Biến đổi đẳng thức đề bài:

  Theo giả thiết, ta có:

  $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$

  Áp dụng quy tắc ba điểm, chèn điểm trọng tâm $G$ vào tất cả các vectơ ở vế trái:

  $$\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\right) + \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\right) + 2\left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\right) = \overrightarrow{0}$$
  $$\Leftrightarrow \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{MG} + 2\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

• Nhóm các đại lượng đồng dạng:

  $$\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + 2\overrightarrow{MG}\right) + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\right) + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$
  $$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$
  $$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

• Chuyển vế đổi dấu để tìm mối liên hệ hình học:

  $$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} = -\overrightarrow{GC}$$

  Ta hoán đổi hướng để mất dấu âm: $-\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{CG}$. Thế vào đẳng thức:

  $$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{CG} \Leftrightarrow \overrightarrow{MG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CG}$$

• Biện luận vị trí điểm $M$:

  Đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CG}$ cho ta biết hai thông tin quan trọng:

  1. Vectơ $\overrightarrow{MG}$ và vectơ $\overrightarrow{CG}$ cùng hướng (do hệ số $k = \frac{1}{4} > 0$). Điều này chứng tỏ điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng nối từ đỉnh $C$ đến trọng tâm $G$.

  2. Độ dài đoạn thẳng $MG$ bằng $\frac{1}{4}$ độ dài đoạn thẳng $CG$.

Kết luận: Điểm $M$ là điểm nằm trên trung tuyến kẻ từ $C$ của tam giác, cụ thể $M$ thuộc đoạn thẳng $CG$ sao cho nếu chia đoạn $CG$ thành 4 phần bằng nhau thì $MG$ chiếm 1 phần và $CM$ chiếm 3 phần.

b) Chứng minh hệ thức: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$ với mọi điểm $O$

Để chứng minh đẳng thức chứa điểm $O$ di động này, phương pháp nhanh nhất là biến đổi vế trái (VT) bằng cách chèn điểm mút cố định $M$ đã được định vị ở câu a.

• Xét vế trái (VT):

  $$\text{VT} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}$$

• Chèn điểm $M$ vào tất cả các vectơ bằng quy tắc ba điểm:

  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}\right) + \left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}\right) + 2\left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC}\right)$$

• Khai triển và nhóm nhân tử chung:

  $$\text{VT} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{OM} + 2\overrightarrow{MC}$$
  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM} + 2\overrightarrow{OM}\right) + \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\right)$$
  $$\text{VT} = 4\overrightarrow{OM} + \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\right)$$

• Theo giả thiết cốt lõi và chứng minh ở câu a, ta có cụm tổng vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$. Thế đại lượng này vào biểu thức:

  $$\text{VT} = 4\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{0} = 4\overrightarrow{OM} = \text{VP (Đpcm)}$$

III. Mẹo giải trắc nghiệm nhanh hệ thức tâm tỷ cự

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn tăng tốc độ làm bài trong các đề thi trắc nghiệm đại số vectơ, chúng ta có thể áp dụng hệ quả của tâm tỷ cự mở rộng cho hệ $n$ điểm:

Nếu điểm $M$ thỏa mãn hệ thức tổng quát có dạng cân bằng:

$$\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$

Thì với mọi điểm $O$ bất kỳ trong không gian phẳng, ta luôn luôn suy ra ngay một hệ thức thu gọn đường chéo duy nhất là:

$$\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC} = (\alpha + \beta + \gamma)\overrightarrow{OM}$$

Áp dụng vào bài toán:

Ta có hệ số gắn với các vectơ lần lượt là $\alpha = 1, \beta = 1, \gamma = 2$.

Tổng các hệ số: $\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 2 = 4$.

Hệ thức lập tức biến đổi ra ngay kết quả câu b: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$ mà không cần qua các bước khai triển dài dòng!

IV. Kết luận

Chìa khóa để giải quyết trọn vẹn bài tập 4.14 nằm ở tư duy chèn điểm trung gian cố định (trọng tâm $G$) ở câu a và chèn điểm mút di động $M$ ở câu b. Kỹ năng phân tích này sẽ giúp học sinh xây dựng phản xạ tốt khi đối mặt với các bài toán hình học phẳng phức tạp hơn ở đề thi học sinh giỏi.