Bài 5.11 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và biện luận toán học chặt chẽ cho từng khẳng định.

I. Đề bài tập 5.11 (SGK Toán 10 - Trang 88)

Mỗi khẳng định sau đây là đúng hay sai?

• (1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

• (2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại. 

• (3)Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

• (4)Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp. 

• (5)Các số đo độ phân tán đều không âm. 

II. Hệ thống kiến thức cốt lõi cần bám sát

• Khoảng biến thiên ($R$): $R = x_{\max} - x_{\min}$ (Hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất).

• Khoảng tứ phân vị ($\Delta_Q$): $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ (Hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất). Đại lượng này đại diện cho khoảng biến thiên của $50\%$ lượng dữ liệu nằm ở chính giữa mẫu.

• Độ lệch chuẩn ($s$): Là căn bậc hai của phương sai, dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu xung quanh số trung bình.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.11

Chúng ta tiến hành phân tích sâu bản chất hình học và thống kê của từng phát biểu để đưa ra kết luận:

Khẳng định (1): "Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn."

• Phân tích: Độ lệch chuẩn ($s$) dùng để đo mức độ lệch (độ phân tán) của các số liệu so với số trung bình. Nếu các giá trị trong mẫu càng nằm sát và tập trung quanh số trung bình, điều đó có nghĩa là dữ liệu ít bị phân tán, độ lệch rất nhỏ, dẫn đến độ lệch chuẩn phải càng nhỏ.

• Kết luận: Khẳng định (1) SAI.

Khẳng định (2): "Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại."

• Phân tích: Theo đúng công thức định nghĩa, khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$ được tính toán thuần túy bằng cách lấy giá trị biên lớn nhất trừ đi giá trị biên nhỏ nhất. Toàn bộ các giá trị trung gian nằm ở giữa dòng đều không tham gia vào phép tính này.

• Kết luận: Khẳng định (2) ĐÚNG.

Khẳng định (3): "Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất."

• Phân tích: Khoảng tứ phân vị được xác định bằng hệ thức: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$. Trong đó, $Q_1$ và $Q_3$ là các điểm phân vị chia nhỏ mẫu số liệu, hoàn toàn độc lập và không bị ảnh hưởng bởi giá trị biên cực đại $x_{\max}$ hay cực tiểu $x_{\min}$ (outliers). Do đó, khoảng tứ phân vị loại bỏ hoàn toàn thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất.

• Kết luận: Khẳng định (3) SAI.

Khẳng định (4): "Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp."

• Phân tích: Về mặt bản chất hình thái phân bố, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ là đại lượng đo độ phân tán của $50\%$ số liệu nằm ở chính giữa của mẫu dữ liệu sau khi đã sắp xếp từ nhỏ đến lớn, chứ không phải là khoảng biến thiên của riêng nửa dưới.

• Kết luận: Khẳng định (4) SAI.

Khẳng định (5): "Các số đo độ phân tán đều không âm."

• Phân tích: Ta lần lượt xét dấu của bốn số đo độ phân tán giáo khoa:

  • Khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min} \ge 0$ (do số lớn trừ số bé).

  • Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 \ge 0$ (do dãy đã xếp theo thứ tự không giảm nên $Q_3 \ge Q_1$).

  • Phương sai $s^2$ và Độ lệch chuẩn $s$ luôn là các đại lượng bình phương và căn bậc hai số học nên mặc định $\ge 0$.

• Kết luận: Khẳng định (5) ĐÚNG.

IV. Mẹo nhớ nhanh tính chất các số đo độ phân tán (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có một phản xạ siêu tốc khi làm bài thi trắc nghiệm đối với các câu hỏi lý thuyết dài, các em chỉ cần áp dụng bảng nhớ nhanh từ khóa bản chất sau:

• Từ khóa "Tập trung" $\rightarrow$ Sai số nhỏ: Số liệu càng tụ lại một điểm thì độ phân tán càng thấp $\rightarrow$ Phương sai và độ lệch chuẩn tiến dần về $0$.

• Từ khóa "Biến thiên" $\rightarrow$ Chỉ nhìn hai đầu biên: Khoảng biến thiên là đại lượng thô sơ nhất, chỉ nhìn đỉnh đầu và cuối dòng, rất dễ bị nhiễu bởi các giá trị dị biệt.

• Từ khóa "Tứ phân vị" $\rightarrow$ Chống nhiễu biên: Khoảng tứ phân vị sinh ra để khắc phục nhược điểm của khoảng biến thiên, nó khoanh vùng $50\%$ lõi ở giữa nên hoàn toàn "mù" thông tin trước hai giá trị cực đại và cực tiểu ở rìa biên.

Ghi nhớ các từ khóa bản chất này sẽ giúp các em quét nhanh đáp án trắc nghiệm lý thuyết chỉ trong vòng 5 giây!

V. Kết luận

Bài tập 5.11 là một câu hỏi lý thuyết định tính vô cùng xuất sắc, giúp học sinh hệ thống hóa lại toàn bộ ưu – nhược điểm và bản chất hình học của các đại lượng đo độ phân tán trong thống kê. Việc hiểu sâu sắc các khẳng định này sẽ giúp các em làm chủ hoàn toàn các dạng bài tập phân tích số liệu nâng cao.