Bài 4.33 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết, mạch lạc từng bước giúp các em học sinh dễ dàng tiếp thu.

I. Đề bài tập 4.33 (SGK Toán 10 - Trang 71)

Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC$.

• a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$.

• b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

II. Các quy tắc vectơ cốt lõi cần áp dụng

Để xử lý mượt mà bài toán phân tích vectơ này, các em học sinh cần ghi nhớ hai quy tắc hình học căn bản sau:

1. Vectơ cùng phương, ngược hướng: Nếu hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng nhau và có độ dài $|\vec{u}| = k \cdot |\vec{v}|$ ($k > 0$) thì hệ thức vectơ giữa chúng là:

   $$\vec{u} = -k \cdot \vec{v}$$

2. Quy tắc ba điểm (Phép cộng chèn điểm): Ta có thể chèn một điểm $M$ bất kỳ vào giữa đoạn thẳng $AB$ để phân tích thành tổng hai vectơ:

   $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}$$

3. Quy tắc hiệu (Phép trừ chèn gốc): Phân tích một vectơ theo hiệu của hai vectơ chung gốc:

   $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.33

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$

• Bước 1: Xét về mặt độ lớn (độ dài đại số)

  Theo giả thiết đề bài cho, điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ và thỏa mãn đẳng thức khoảng cách:

  $$MB = 3MC$$

• Bước 2: Xét về mặt phương hướng

  Vì điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$ (nằm giữa hai điểm $B$ and $C$), nên khi ta vẽ hai mũi tên vectơ $\overrightarrow{MB}$ (hướng từ $M$ sang $B$) và $\overrightarrow{MC}$ (hướng từ $M$ sang $C$), ta thấy chúng nằm trên cùng một đường thẳng nhưng chỉ về hai phía ngược nhau. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ là hai vectơ ngược hướng.

Kết luận câu a: Kết hợp giữa độ lớn gấp 3 lần và tính chất ngược hướng, ta thu được mối quan hệ vectơ:

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

Để biểu diễn vectơ đoạn thẳng trung tuyến/vực tâm $\overrightarrow{AM}$ theo hai cạnh bên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, ta tiến hành biến đổi theo các bước sau:

• Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm để chèn gốc $B$

  $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \quad (1)$$

• Bước 2: Biến đổi vectơ đoạn thẳng $\overrightarrow{BM}$ theo vectơ cạnh đáy $\overrightarrow{BC}$

  Vì điểm $M$ nằm giữa $B, C$ và $MB = 3MC$, nên đoạn thẳng $BC$ được chia làm 4 phần bằng nhau, trong đó đoạn $BM$ chiếm 3 phần.

  Do vectơ $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{BC}$ là hai vectơ cùng hướng, ta có tỉ lệ:

  $$\overrightarrow{BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \quad (2)$$

• Bước 3: Thế và khai triển bằng quy tắc hiệu

  Thế đẳng thức $(2)$ vào phương trình $(1)$, ta được:

  $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$

  Tiến hành chèn điểm gốc $A$ vào vectơ đáy $\overrightarrow{BC}$ bằng quy tắc hiệu ($\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$):

  $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)$$

  Ta nhân phân phối hệ số $\frac{3}{4}$ vào trong ngoặc và nhóm các vectơ đồng dạng:

  $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$$
  $$\overrightarrow{AM} = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$$
  $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$$

Kết luận câu b: Vectơ $\overrightarrow{AM}$ được biểu diễn hệ số theo hai vectơ cạnh là $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

IV. Mẹo nhớ nhanh công thức chia đoạn (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể nhẩm nhanh ra ngay đáp số ở câu b khi gặp các câu hỏi trắc nghiệm tương tự, các em hãy ghi nhớ Công thức tâm tỷ cự chia đoạn tổng quát sau đây:

Nếu điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ và thỏa mãn đẳng thức vectơ dạng: $m \cdot \overrightarrow{MB} + n \cdot \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$, thì với mọi điểm $A$ bất kỳ, ta luôn có công thức phân tích nhanh:

$$\overrightarrow{AM} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} + \frac{n}{m+n}\overrightarrow{AC}$$

Áp dụng vào bài toán:

• Từ câu a ta có: $\overrightarrow{MB} = -3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow 1 \cdot \overrightarrow{MB} + 3 \cdot \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$.

• Hệ số tương ứng là $m = 1$ và $n = 3$.

• Thay vào công thức tổng quát: $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{1+3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{1+3}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

• Kết quả hiện ra ngay lập tức mà không cần qua các bước chèn điểm nhân phối phức tạp!

V. Kết luận

Bài tập 4.33 là một bài toán tự luận kinh điển, giúp học sinh rèn luyện tư duy biến đổi hệ số vectơ dựa trên tỷ lệ hình học phẳng. Việc làm chủ kỹ thuật chèn điểm và thuộc lòng mẹo tính nhanh tâm tỷ cự sẽ giúp các em tự tin chinh phục các điểm số cao trong các bài kiểm tra định kỳ.