Bài 4.32 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc từng bước giúp các em học sinh dễ dàng làm chủ dạng bài tập này.

I. Đề bài tập 4.32 (SGK Toán 10 - Trang 71)

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 45^\circ$

• B. $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = 45^\circ$ và $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2$

• C. $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = a^2\sqrt{2}$

• D. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = -a^2$

II. Các công thức toán học nền tảng cần nhớ

Để giải quyết chính xác bài toán này, các em học sinh cần bám sát các tính chất hình vuông và định nghĩa vectơ sau:

1. Độ dài các đường chéo hình vuông: Hình vuông cạnh $a$ có hai đường chéo bằng nhau và bằng:

   $$AC = BD = a\sqrt{2}$$

2. Tính chất hai đường chéo: Hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường và đồng thời là đường phân giác của các góc ở đỉnh.

3. Công thức tích vô hướng đại số:

   $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$$

4. Quy tắc tịnh tiến xác định góc: Khi hai vectơ chưa chung gốc, ta tịnh tiến một trong hai vectơ sao cho chúng chung gốc để xác định góc chính xác, tránh bẫy góc bù ($180^\circ - \alpha$).

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.32

Chúng ta tiến hành phân tích và tính toán định lượng cho từng phương án để biện luận loại trừ:

Xét phương án A: Tính góc $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD})$

• Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BD}$ chưa chung gốc. Để xác định góc, ta dựng điểm $E$ sao cho $ABDE$ là hình bình hành (như hình vẽ gợi ý). Khi đó $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}$.

• Góc giữa hai vectơ trở thành: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{BD}) = \widehat{BDE}$.

• Vì $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $BD$ tạo với cạnh $CD$ một góc $\widehat{BDC} = 45^\circ$. Mặt khác, do $ED \parallel AB \parallel CD$ nên ba điểm $E, D, C$ thẳng hàng.

• Do đó, góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{BDC}$ là hai góc kề bù:

  $$\widehat{BDE} = 180^\circ - \widehat{BDC} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$

• Vậy $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 135^\circ \neq 45^\circ$. $\rightarrow$ A sai.

Xét phương án B: Tính góc và tích vô hướng của $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$

• Để tìm góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$, ta tịnh tiến về chung gốc bằng cách dựng điểm $F$ sao cho $ABFC$ là hình bình hành. Khi đó $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BF}$.

• Góc cần tìm là: $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BF}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{CBF}$.

• Vì $ABFC$ là hình bình hành nên $BF \parallel AC$. Do đó $\widehat{CBF} = \widehat{ACB}$ (hai góc ở vị trí so le trong).

• Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $AC$ là tia phân giác của góc $\widehat{BCD} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{ACB} = 45^\circ$. Do đó $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = 45^\circ$ (Ý đầu của phương án B đúng).

• Tiếp tục tính tích vô hướng:

  $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = AC \cdot BC \cdot \cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45^\circ$$
  $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$$

• Cả hai vế của điều kiện đều thỏa mãn chính xác. $\rightarrow$ B đúng.

Xét phương án C: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$

• Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại tâm $O$.

• Do $AC \perp BD \Rightarrow \overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$, kéo theo tích vô hướng của chúng phải bằng $0$:

  $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \neq a^2\sqrt{2}$$

• $\rightarrow$ C sai.

Xét phương án D: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}$

• Hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BD}$ đã chung gốc $B$, góc giữa chúng chính là góc hình học $\widehat{ABD} = 45^\circ$.

• Áp dụng công thức tính tích vô hướng:

  $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = BA \cdot BD \cdot \cos\widehat{ABD} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = a^2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \neq -a^2$$

• $\rightarrow$ D sai.

Đáp án chính xác: B

IV. Mẹo loại trừ nhanh phương án vuông góc (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn bứt phá tốc độ và tối ưu thời gian khi gặp dạng bài tập này trong phòng thi, các em hãy ghi nhớ mẹo "quét nhanh" sau đây:

• Khi đọc đến phương án C, thấy biểu thức $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$, các em hãy nhớ ngay định lý hình học cốt lõi: "Hai đường chéo của hình vuông luôn vuông góc với nhau".

• Một khi đã vuông góc thì tích vô hướng bắt buộc phải bằng $0$. Do đó, ta có thể gạch phăng phương án C ngay lập tức trong vòng 1 giây mà không cần bận tâm đến độ dài cạnh $a$ hay các hệ số căn thức phức tạp!

V. Kết luận

Bài tập 4.32 là một bài toán trắc nghiệm tổng hợp rất hay, giúp học sinh rèn luyện tư duy nhạy bén trong việc xác định góc giữa các vectơ dịch chuyển tự do trong hệ hình phẳng. Việc kết hợp nhuần nhuyễn giữa vẽ hình phụ và áp dụng công thức lượng giác sẽ giúp các em tự tin xử lý mọi bài toán tích vô hướng nâng cao.