Bài 5.19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và biện luận toán học chặt chẽ giúp các em nắm trọn điểm số.

I. Đề bài tập 5.19 (SGK Toán 10 - Trang 89)

Phát biểu sau đây đúng hay sai: "Có $25\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$"?

• A. Đúng.

• B. Sai.

II. Định lý và cấu trúc phân vị cần nhớ

Để chốt nhanh đáp án cho câu hỏi lý thuyết định tính này, các em học sinh của Hay Học Hỏi cần bám sát định nghĩa về mặt cấu trúc của các khoảng tứ phân vị:

Bộ ba giá trị tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ sau khi sắp xếp dãy số theo thứ tự không giảm sẽ chia toàn bộ dung lượng mẫu dữ liệu ra làm 4 phần đều nhau, mỗi phần chứa xấp xỉ $25\%$ số lượng phần tử của mẫu:

• Khoảng từ giá trị nhỏ nhất ($\text{Min}$) đến $Q_1$: Chứa khoảng $25\%$ số liệu.

• Khoảng từ $Q_1$ đến trung vị $Q_2$: Chứa khoảng $25\%$ số liệu.

• Khoảng từ $Q_2$ đến $Q_3$: Chứa khoảng $25\%$ số liệu.

• Khoảng từ $Q_3$ đến giá trị lớn nhất ($\text{Max}$): Chứa khoảng $25\%$ số liệu.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.19

Dựa vào sơ đồ phân tích tỷ lệ hình học ở mục II, ta tiến hành kiểm tra tính đúng sai của phát biểu đề bài như sau:

• Khoảng nằm giữa hai giá trị tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) và tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) chính là đoạn lõi $[Q_1; Q_3]$ của mẫu số liệu.

• Đoạn lõi này được hợp thành từ hai khoảng con liên tiếp nhau qua mốc trung vị $Q_2$, bao gồm: khoảng $[Q_1; Q_2]$ và khoảng $[Q_2; Q_3]$.

• Ta tiến hành cộng gộp tỷ lệ phần trăm dung lượng dữ liệu của hai khoảng con này lại:

  $$\text{Tỷ lệ dữ liệu nằm giữa } Q_1 \text{ và } Q_3 = 25\% + 25\% = 50\%$$

• Như vậy, thực tế phải có khoảng $50\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$ (đây chính là định nghĩa của khoảng tứ phân vị $\Delta Q$).

Do đó, phát biểu "Có $25\%$ giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$" là một khẳng định hoàn toàn SAI.

IV. Mẹo giải nhanh (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh kỹ năng nhận biết và phản xạ nhanh, không bao giờ bị đề bài đánh lừa thị giác trong phòng thi, các em hãy ghi nhớ mẹo thuộc lòng "thần chú" sau:

• Bẫy số 25: Đề bài rất hay đưa con số $25\%$ vào câu hỏi vì biết học sinh cứ nghe đến chữ "Tứ" (nghĩa là 4 phần) thì sẽ liên tưởng ngay đến tỷ lệ $\frac{1}{4} = 25\%$.

• Mẹo nhẩm nhanh: Cứ nhớ mỗi một khoảng nhảy giữa các mốc liên tiếp sẽ chiếm $25\%$. Các em chỉ cần đếm số bước nhảy từ mốc này sang mốc kia để nhân lên:

  • Từ $Q_1$ sang $Q_2$: Có 1 bước nhảy $\rightarrow 1 \cdot 25\% = 25\%$ số liệu.

  • Từ $Q_2$ sang $Q_3$: Có 1 bước nhảy $\rightarrow 1 \cdot 25\% = 25\%$ số liệu.

  • Từ $Q_1$ sang $Q_3$: Có 2 bước nhảy liên tiếp ($Q_1 \rightarrow Q_2 \rightarrow Q_3$) $\rightarrow 2 \cdot 25\% = 50\%$ số liệu (Khoanh ngay đáp án Sai).

  • Từ $\text{Min}$ sang $Q_3$: Có 3 bước nhảy liên tiếp $\rightarrow 3 \cdot 25\% = 75\%$ số liệu.

Quy luật đếm bước nhảy trực quan này giúp các em học sinh hạ gục câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết chỉ trong vòng 2 giây mà không cần đắn đo suy nghĩ!

V. Kết luận

Bài tập 5.19 tuy là một câu hỏi trắc nghiệm ngắn ở mức độ nhận biết nhưng lại vô cùng tinh tế, giúp học sinh củng cố lại một cách sâu sắc bản chất hình thái phân bố của biểu đồ hộp. Việc hiểu rõ cơ chế phân chia $25\%$ đều đặn giữa các mốc phân vị sẽ giúp các em làm chủ hoàn toàn các bài toán phân tích số liệu nâng cao.