Bài 4.25 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc từng bước giúp các em học sinh dễ dàng nắm vững bản chất phép chứng minh này.

I. Đề bài tập 4.25 (SGK Toán 10 - Trang 70)

Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta luôn có công thức tính diện tích sau:

II. Các công thức toán học nền tảng làm đòn bẩy

Để giải quyết bài toán biến đổi đẳng thức này, chúng ta cần bám sát vào 3 hệ thức giáo khoa cốt lõi sau:

1. Công thức tính diện tích tam giác theo hình học lượng giác:

   $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$

2. Công thức định nghĩa Tích vô hướng của hai vectơ:

   $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$
   $$\Rightarrow \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \cdot AC}$$

3. Hệ thức lượng giác cơ bản giữa sin và cos:

   $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} \quad (\text{vì trong tam giác } 0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ \text{ nên } \sin A > 0)$$

4. Bình phương vô hướng: Bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của đoạn thẳng tương ứng:

   $$\overrightarrow{AB}^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = AB^2 \Rightarrow AB = \sqrt{\overrightarrow{AB}^2}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.25

Chúng ta tiến hành biến đổi vế trái (VT) là công thức diện tích hình học thuần túy thành biểu thức đại số vectơ ở vế phải (VP) theo mạch lập luận logic sau:

• Bước 1: Thiết lập công thức diện tích gốc

  Xuất phát từ công thức tính diện tích tam giác liên quan đến góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$

• Bước 2: Chuyển đổi hàm $\sin$ sang hàm $\cos$

  Áp dụng đẳng thức lượng giác cơ bản $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$, ta đưa biểu thức diện tích về dạng chứa căn thức:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} \quad (1)$$

• Bước 3: Tọa độ hóa biểu thức $\cos$ bằng định nghĩa tích vô hướng

  Theo công thức định nghĩa tích vô hướng, ta thế $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \cdot AC}$ vào hệ thức $(1)$:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sqrt{1 - \left[ \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \cdot AC} \right]^2}$$

  Khai triển bình phương cho cả tử số và mẫu số bên trong dấu căn:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sqrt{1 - \frac{(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}{AB^2 \cdot AC^2}}$$

• Bước 4: Quy đồng mẫu số và đưa độ dài về bình phương vô hướng

  Áp dụng tính chất bình phương vô hướng $AB^2 = \overrightarrow{AB}^2$ và $AC^2 = \overrightarrow{AC}^2$, ta tiến hành quy đồng mẫu số bên trong căn thức:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sqrt{\frac{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2}}$$

• Bước 5: Khai căn mẫu số để triệt tiêu đại lượng ngoài dấu căn

  Ta tiến hành đưa mẫu số ra khỏi dấu căn bậc hai: $\sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2} = \sqrt{AB^2 \cdot AC^2} = AB \cdot AC$. Biểu thức trở thành:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{1}{AB \cdot AC} \cdot \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$$

  Tiến hành rút gọn đại lượng tích độ dài $AB \cdot AC$ ở cả tử số và mẫu số, ta thu được hệ thức rút gọn cuối cùng:

  $$S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} = \text{VP (Đpcm)}$$

Kết luận: Đẳng thức đã được chứng minh hoàn toàn chính xác với mọi tam giác $ABC$.

IV. Ý nghĩa hình học mở rộng: Định thức Lagrange lớp 10

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thêm chiều sâu tư duy, công thức vừa chứng minh ở bài 4.25 thực chất chính là một trường hợp đặc biệt của Định thức Lagrange áp dụng cho tích vô hướng và tích có hướng trong không gian.

Ý nghĩa thực tiễn của công thức này là gì?

• Trong các bài toán thực tế sau này, nếu đề bài cho tọa độ phẳng của các đỉnh tam giác $ABC$, học sinh hoàn toàn có thể tính trực tiếp được diện tích tam giác thông qua độ dài và tích vô hướng của hai vectơ xuất phát từ một đỉnh mà không cần phải mất thời gian đi tìm chiều cao hay tính số đo góc bằng hàm số lượng giác. Điều này giúp tăng tốc độ làm bài lên gấp hai lần!

V. Kết luận

Bài tập 4.25 là một bài toán lý thuyết nâng cao vô cùng tinh tế, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức chứa căn thức phối hợp cùng các định nghĩa vectơ. Khi đã hiểu rõ bản chất của phép quy đổi từ hàm $\sin$ sang hàm $\cos$ thông qua tích vô hướng, các bài toán tính diện tích đa giác phẳng sau này sẽ trở nên vô cùng đơn giản.