Bài 4.21 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài 4.21 trang 70 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống giúp các em ôn tập và nắm chắc phương pháp làm bài.

I. Đề bài tập 4.21 (SGK Toán 10 - Trang 70)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

• a) $\vec{a}(-3; 1)$ và $\vec{b}(2; 6)$

• b) $\vec{a}(3; 1)$ và $\vec{b}(2; 4)$

• c) $\vec{a}(-\sqrt{2}; 1)$ và $\vec{b}(2; -\sqrt{2})$

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

Để tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}(x_1; y_1)$ và $\vec{b}(x_2; y_2)$, ta áp dụng hệ thức định nghĩa tích vô hướng:

• Bước 1: Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

• Bước 2: Tính độ dài từng vectơ $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$.

• Bước 3: Lập tỷ số để tìm $\cos(\vec{a}, \vec{b})$, từ đó suy ra số đo góc $(\vec{a}, \vec{b})$.

III. Lời giải chi tiết bài 4.21

a) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}(-3; 1)$ và $\vec{b}(2; 6)$

• Tính tích vô hướng:

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0$$

• Biện luận hình học:

  Vì tích vô hướng của hai vectơ bằng $0$ ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$), theo tính chất vuông góc, hai vectơ này vuông góc với nhau mà không cần tính độ dài cạnh.

Kết luận: $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.

b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}(3; 1)$ và $\vec{b}(2; 4)$

• Tính tích vô hướng:

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6 + 4 = 10$$

• Tính độ dài của các vectơ:

  $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$
  $$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

• Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

  $$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

• Do $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên ta tra bảng lượng giác hoặc bấm máy tính nút Shift + Cos để suy ra góc.

Kết luận: $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

c) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}(-\sqrt{2}; 1)$ và $\vec{b}(2; -\sqrt{2})$

• Tính tích vô hướng:

  $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - \sqrt{2} = -3\sqrt{2}$$

• Tính độ dài của các vectơ:

  $$|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$$
  $$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$$

• Tính cosin của góc giữa hai vectơ:

  $$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1$$

• Do $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = -1$ nên hai vectơ này là hai vectơ ngược hướng nhau.

Kết luận: $(\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ$.

IV. Mẹo tránh sai sót khi tính toán căn thức cho học sinh

Khi giải câu c, học sinh rất dễ tính toán sai ở bước bình phương số thực âm hoặc nhân các căn thức đứng độc lập với nhau.

• Lưu ý 1: Khi tính độ dài $|\vec{a}|$, hãy nhớ rằng $(-\sqrt{2})^2 = 2$ (luôn ra kết quả dương). Nhiều bạn viết nhầm thành $-2$ dẫn đến biểu thức trong căn bị âm và không giải được.

• Lưu ý 2: Ở bước rút gọn phân số câu c: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Việc đưa về cùng dạng căn thức ở cả tử và mẫu sẽ giúp các em triệt tiêu kết quả rất đẹp mắt và chính xác.

V. Kết luận

Bài tập 4.21 giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng đại số hóa góc giữa hai đường thẳng thông qua hệ tọa độ phẳng một cách hiệu quả. Việc nắm chắc công thức tỷ số tích vô hướng chia tích độ dài sẽ giúp các em xử lý gọn gàng các câu hỏi hình học tọa độ trong đề kiểm tra sắp tới.