Bài 4.24 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc từng bước giúp các em học sinh dễ dàng nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 4.24 (SGK Toán 10 - Trang 70)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4; 1)$, $B(2; 4)$, $C(2; -2)$.

• a) Giải tam giác $ABC$.

• b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

II. Các công thức toán học cốt lõi cần áp dụng

• Độ dài đoạn thẳng: $AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

• Định lý cosin giải góc: $\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$

• Tính chất trực tâm: Trực tâm $H$ là giao điểm của ba đường cao trong tam giác. Do đó, ta khai thác tính chất vuông góc bằng tích vô hướng để lập hệ phương trình tọa độ:

  $$\begin{cases} AH \perp BC \Rightarrow \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \\ BH \perp AC \Rightarrow \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.24

a) Giải tam giác $ABC$

Giải tam giác là đi tìm độ dài của tất cả các cạnh và số đo của tất cả các góc chưa biết trong tam giác đó.

Bước 1: Tính độ dài ba cạnh $AB$, $AC$, $BC$

Ta tiến hành tìm tọa độ các vectơ cạnh phẳng rồi áp dụng công thức tính khoảng cách căn bậc hai:

• Cạnh $AB$:

  $$\overrightarrow{AB} = (2 - (-4); 4 - 1) = (6; 3) \Rightarrow AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

• Cạnh $AC$:

  $$\overrightarrow{AC} = (2 - (-4); -2 - 1) = (6; -3) \Rightarrow AC = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

• Cạnh $BC$:

  $$\overrightarrow{BC} = (2 - 2; -2 - 4) = (0; -6) \Rightarrow BC = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$

Bước 2: Tính số đo các góc $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$

• Áp dụng hệ quả của định lý cosin tại đỉnh $A$, ta có biểu thức lượng giác:

  $$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{45 + 45 - 6^2}{2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{90 - 36}{2 \cdot 45} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$$

• Sử dụng máy tính cầm tay bấm tổ hợp phím Shift + Cos + (3/5), ta tìm được số đo góc $A$:

  $$\Rightarrow \widehat{A} \approx 53,13^\circ$$

• Nhận thấy tam giác $ABC$ có độ dài hai cạnh bên bằng nhau ($AB = AC = 3\sqrt{5}$) nên $\Delta ABC$ là tam giác cân tại đỉnh $A$. Từ tính chất tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau:

  $$\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} \approx \frac{180^\circ - 53,13^\circ}{2} \approx 63,44^\circ$$

Kết luận câu a: Các yếu tố của tam giác $ABC$ gồm: $AB = AC = 3\sqrt{5}$; $BC = 6$ và $\widehat{A} \approx 53,13^\circ$; $\widehat{B} = \widehat{C} \approx 63,44^\circ$.

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$

Gọi tọa độ của trực tâm cần tìm là $H(x; y)$.

• Bước 1: Lập tọa độ cho các vectơ chỉ phương đường cao và cạnh đối diện

  • $\overrightarrow{AH} = (x - (-4); y - 1) = (x + 4; y - 1)$

  • $\overrightarrow{BC} = (0; -6)$

  • $\overrightarrow{BH} = (x - 2; y - 4)$

  • $\overrightarrow{AC} = (6; -3)$

• Bước 2: Thiết lập hệ phương trình tích vô hướng vuông góc

  Vì $H$ là trực tâm nên $AH \perp BC$ và $BH \perp AC$. Cho các tích vô hướng tương ứng bằng $0$:

  1. Phương trình thứ nhất ($AH \perp BC$):

     $$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x + 4) \cdot 0 + (y - 1) \cdot (-6) = 0$$
     $$\Leftrightarrow -6(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 \quad (1)$$

  2. Phương trình thứ hai ($BH \perp AC$):

     $$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot 6 + (y - 4) \cdot (-3) = 0$$
     $$\Leftrightarrow 6x - 12 - 3y + 12 = 0 \Leftrightarrow 6x - 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0 \quad (2)$$

• Bước 3: Giải hệ bằng phương pháp thế đại số

  Thế giá trị $y = 1$ từ phương trình $(1)$ vào phương trình $(2)$, ta thu được:

  $$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$$

Kết luận câu b: Tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ là $H\left(\frac{1}{2}; 1\right)$.

IV. Mẹo làm bài nhanh đối với tam giác cân (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn bứt phá tốc độ trong các câu hỏi trắc nghiệm nâng cao, chúng ta có một mẹo hình học vô cùng đắt giá dựa vào cấu trúc đối xứng của tam giác cân:

Trong một tam giác cân tại $A$, đường cao $AH$ hạ từ đỉnh đồng thời đóng vai trò là đường trung trực của cạnh đáy $BC$. Do đó, trực tâm $H$ bắt buộc phải nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

• Vì $B(2; 4)$ và $C(2; -2)$ có chung hoành độ $x = 2$, nên đường thẳng $BC$ song song với trục tung $Oy$.

• Kéo theo đường trung trực $AH$ của nó phải song song với trục hoành $Ox$ (có phương trình dạng $y = \text{hằng số}$).

• Hằng số này chính là tung độ trung điểm của $BC$: $y_H = y_I = \frac{4 + (-2)}{2} = 1$.

Nhờ đặc điểm này, các em hoàn toàn có thể nhẩm nhanh ra ngay giá trị $y = 1$ chỉ trong vòng 3 giây mà không cần thực hiện phép nhân tích vô hướng $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$!

V. Kết luận

Bài tập 4.24 là một bài toán tổng hợp rất hay, giúp học sinh bao quát và vận dụng nhuần nhuyễn hệ thống kiến thức từ hệ thức lượng phẳng đến kỹ thuật giải hệ phương trình vectơ tọa độ phẳng Oxy.