Bài 4.23 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc từng bước giúp các em tự tin giành điểm số tuyệt đối.

I. Đề bài tập 4.23 (SGK Toán 10 - Trang 70)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1; 2)$, $B(-4; 3)$. Gọi $M(t; 0)$ là một điểm thuộc trục hoành.

• a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ theo tham số $t$.

• b) Tính giá trị của $t$ để góc $\widehat{AMB} = 90^\circ$.

II. Các công thức toán học cốt lõi cần nhớ

Để làm tốt bài toán này, các em học sinh chỉ cần áp dụng đúng hai định lý căn bản sau:

1. Công thức tọa độ vectơ: Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $M(x_M; y_M)$, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AM}$ được xác định bằng công thức:

   $$\overrightarrow{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A)$$

2. Công thức tích vô hướng đại số: Cho hai vectơ $\vec{u}(x_1; y_1)$ và $\vec{v}(x_2; y_2)$, tích vô hướng của chúng được tính bằng:

   $$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$$

3. Điều kiện vuông góc: Hai đường thẳng $AM$ và $BM$ vuông góc với nhau tại $M$ ($\widehat{AMB} = 90^\circ$) khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ tương ứng bằng $0$:

   $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.23

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ theo tham số $t$

• Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$

  Ta lấy tọa độ của điểm $M(t; 0)$ trừ lần lượt cho tọa độ các điểm $A(1; 2)$ và $B(-4; 3)$ đề bài cho:

  $$\overrightarrow{AM} = (t - 1; 0 - 2) = (t - 1; -2)$$
  $$\overrightarrow{BM} = (t - (-4); 0 - 3) = (t + 4; -3)$$

• Bước 2: Khai triển biểu thức tích vô hướng

  Áp dụng công thức lấy hoành độ nhân hoành độ cộng tung độ nhân tung độ, ta có:

  $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t - 1)(t + 4) + (-2) \cdot (-3)$$

  Tiến hành nhân phá ngoặc và rút gọn biểu thức đa thức đa biến:

  $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t^2 + 4t - t - 4) + 6$$
  $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = t^2 + 3t + 2$$

Kết luận: Biểu thức tích vô hướng theo $t$ cần tìm là $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = t^2 + 3t + 2$.

b) Tính $t$ để góc $\widehat{AMB} = 90^\circ$

• Theo lý thuyết, để góc $\widehat{AMB} = 90^\circ$ thì hai đường thẳng $AM$ và $BM$ phải vuông góc với nhau tại điểm mút $M$.

• Điều này tương đương với việc tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BM}$ phải bằng số $0$:

  $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$$

• Thế biểu thức chứa tham số $t$ vừa tìm được ở câu a vào phương trình vuông góc, ta thu được phương trình bậc hai:

  $$t^2 + 3t + 2 = 0$$

• Tiến hành nhẩm nghiệm nhanh theo hệ thức Vi-ét ($a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0$) hoặc bấm máy tính phương trình bậc hai bấm Mode 5 - 3, ta tìm được hai nghiệm phân biệt:

  $$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.$$

Kết luận cuối cùng: Với $t = -1$ hoặc $t = -2$ thì góc $\widehat{AMB} = 90^\circ$. Khi đó, tọa độ các điểm $M$ thỏa mãn trên trục hoành lần lượt là $M_1(-1; 0)$ và $M_2(-2; 0)$.

IV. Kiến thức mở rộng: Mối liên hệ bản chất Quỹ tích hình học lớp 9

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có một góc nhìn trực quan sâu sắc hơn, chúng ta hãy nhớ lại một kiến thức cốt lõi của năm lớp 9:

Tập hợp các điểm $M$ nhìn đoạn thẳng $AB$ cố định dưới một góc bằng $90^\circ$ chính là Đường tròn đường kính $AB$ (không tính hai điểm mút $A$ và $B$).

Do đó, bài toán tìm điểm $M(t;0)$ thuộc trục hoành thỏa mãn góc vuông thực chất chính là bài toán tìm giao điểm của trục hoành $Ox$ với đường tròn đường kính $AB$. Việc phương trình bậc hai cho ra 2 nghiệm phân biệt chứng tỏ đường tròn đường kính $AB$ cắt trục hoành tại đúng 2 vị trí điểm đối xứng nhau qua trục vẽ!

V. Kết luận

Bài tập 4.23 là một câu hỏi rất hay, giúp học sinh thấy được sự kết nối nhịp nhàng giữa phương pháp đại số hóa tọa độ phẳng Oxy của lớp 10 và tư duy hình học quỹ tích của cấp trung học cơ sở. Việc thành thạo kỹ năng thiết lập phương trình từ tích vô hướng sẽ giúp các em tự tin xử lý mọi bài toán vuông góc phức tạp hơn ở các chương sau.