Bài 5.21 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cùng mạch lập luận thống kê logic giúp các em học sinh nắm trọn điểm số cao.

I. Đề bài tập 5.21 (SGK Toán 10 - Trang 89)

Điểm trung bình môn học kỳ I một số môn học của bạn An là: $8;\quad 9;\quad 7;\quad 6;\quad 5;\quad 7;\quad 3$. Nếu An được cộng thêm mỗi môn $0,5$ điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?

• A. Số trung bình.

• B. Trung vị.

• C. Độ lệch chuẩn.

• D. Tứ phân vị.

II. Phương pháp giải và định lý toán học cần nhớ

Để tìm ra đại lượng không bị biến động khi thay đổi tập dữ liệu, các em học sinh của Hay Học Hỏi cần bám sát định lý tổng quát về hình thái tịnh tiến dữ liệu sau đây:

Định lý về phép tịnh tiến mẫu số liệu:

Khi ta cộng (hoặc trừ) tất cả các giá trị của một mẫu số liệu với cùng một hằng số $d$, thì:

1. Tất cả các số đo xu thế trung tâm (Số trung bình, Trung vị, Tứ phân vị, Mốt) đều biến đổi tăng (hoặc giảm) đúng $d$ đơn vị.

2. Tất cả các số đo độ phân tán (Khoảng biến thiên, Khoảng tứ phân vị, Phương sai, Độ lệch chuẩn) đều hoàn toàn giữ nguyên không đổi.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5.21

Dựa vào định lý nền tảng ở mục II, chúng ta tiến hành lập luận phân tích cho từng phương án để chọn ra kết quả chính xác:

• Xét phương án A, B, D: Số trung bình, Trung vị, Tứ phân vị đều thuộc nhóm các số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Do đó, khi mỗi môn học của bạn An được cộng thêm $0,5$ điểm, toàn bộ các mốc giá trị này đều bị dịch chuyển tịnh tiến tiến lên và tăng thêm đúng $0,5$ điểm. Vì vậy, các số đặc trưng này đều bị thay đổi.

• Xét phương án C: Độ lệch chuẩn ($s$) thuộc nhóm số đặc trưng đo độ phân tán.

  • Về mặt đại số: Khi mỗi giá trị thành phần $x_i$ tăng thêm $0,5$ và số trung bình $\overline{X}$ cũng tăng thêm $0,5$ thì hiệu số độ lệch giữa chúng vẫn giữ nguyên:

    $$(x_i + 0,5) - (\overline{X} + 0,5) = x_i - \overline{X}$$

  • Vì độ lệch của từng phần tử so với số trung bình không hề thay đổi, nên đại lượng bình phương phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$ hoàn toàn giữ nguyên không đổi.

Kết luận cuối cùng: Số đặc trưng không thay đổi khi cộng thêm mỗi môn $0,5$ điểm là Độ lệch chuẩn.

IV. Mẹo tư duy trực quan để giải nhanh (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh đạt tốc độ phản xạ tối đa và không cần mất thời gian đặt bút tính toán hay viết biểu thức đại số ra nháp, các em hãy ghi nhớ bản chất hình học trực quan sau:

• Bản chất hình học: Các em hãy tưởng tượng các điểm số của bạn An giống như một chùm bóng bay nằm trên trục số. Việc cộng thêm mỗi môn $0,5$ điểm tương ứng với hành động ta cầm cả chùm bóng đó dịch chuyển tịnh tiến sang bên phải một đoạn dài đúng $0,5$ đơn vị.

• Sau khi dịch chuyển, vị trí tâm của chùm bóng thay đổi (Số trung bình, trung vị thay đổi). Tuy nhiên, độ co giãn, độ lan rộng hoặc khoảng cách tương đối giữa các quả bóng với nhau hoàn toàn giữ nguyên khít như cũ.

• Mẹo chốt đáp án: Cứ thấy từ khóa đề bài bảo "Cộng thêm" hoặc "Trừ đi" cùng một hằng số cho tất cả các phần tử và hỏi đại lượng nào "Không thay đổi" $\rightarrow$ Các em hãy quét mắt tìm ngay các từ thuộc nhóm đo độ phân tán (Khoảng biến thiên, Khoảng tứ phân vị, Phương sai, Độ lệch chuẩn) để khoanh. Nhờ mẹo chùm bóng dịch chuyển này, các em có thể dễ dàng chốt ngay câu C chỉ trong vòng 2 giây!

V. Kết luận

Bài tập 5.21 là một câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết ở mức độ vận dụng rất hay, giúp học sinh thấu hiểu bản chất hoạt động của các số đặc trưng thống kê khi tập dữ liệu có sự biến động đồng loạt. Việc làm chủ mẹo dịch chuyển tịnh tiến dữ liệu sẽ giúp các em học sinh tạo được phản xạ phòng thi rất tốt, xử lý nhanh gọn các câu hỏi phân hóa để đạt điểm số tối đa.