Bài 4.26 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc từng bước bằng phương pháp chèn điểm vectơ giúp các em học sinh đạt điểm số tối đa.

I. Đề bài tập 4.26 (SGK Toán 10 - Trang 70)

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ tùy ý, ta luôn có hệ thức:

II. Phương pháp giải và công thức cốt lõi

Để biến đổi các biểu thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng phẳng về một điểm trung gian (như trọng tâm $G$), các em học sinh cần nắm vững 3 chiếc chìa khóa toán học sau:

1. Mối liên hệ giữa độ dài và vectơ (Bình phương vô hướng): Bình phương độ dài của một đoạn thẳng luôn luôn bằng bình phương vô hướng của vectơ tương ứng:

   $$MA^2 = \overrightarrow{MA}^2, \quad MB^2 = \overrightarrow{MB}^2, \quad MC^2 = \overrightarrow{MC}^2$$

2. Quy tắc chèn điểm: Sử dụng quy tắc ba điểm để chèn điểm trọng tâm $G$ vào giữa các vectơ:

   $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}$$

3. Tính chất cốt lõi của trọng tâm tam giác: Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, ta luôn có đẳng thức vectơ-không:

   $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.26

Chúng ta tiến hành biến đổi vế trái (VT) của đẳng thức đề bài cho bằng cách chuyển sang hệ vectơ và khai triển hằng đẳng thức đại số:

• Bước 1: Chuyển đổi độ dài sang bình phương vô hướng và chèn điểm $G$

  $$\text{VT} = MA^2 + MB^2 + MC^2$$
  $$\text{VT} = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2$$

  Áp dụng quy tắc chèn điểm $G$ vào từng vectơ, ta được:

  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\right)^2 + \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\right)^2 + \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\right)^2$$

• Bước 2: Khai triển các hằng đẳng thức bình phương của một tổng

  Áp dụng hằng đẳng thức $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ cho biểu thức vectơ:

  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GA}^2\right) + \left(\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GB}^2\right) + \left(\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GC}^2\right)$$

• Bước 3: Nhóm các đại lượng đồng dạng

  Ta tiến hành gom các số hạng giống nhau và đặt nhân tử chung cho các tích vô hướng đứng cạnh nhau:

  $$\text{VT} = \left(\overrightarrow{MG}^2 + \overrightarrow{MG}^2 + \overrightarrow{MG}^2\right) + 2\overrightarrow{MG} \cdot \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\right) + \left(\overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2\right)$$
  $$\text{VT} = 3\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\right) + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2$$

• Bước 4: Áp dụng tính chất trọng tâm và rút gọn kết quả

  Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. Thế đại lượng này vào biểu thức ta thu được:

  $$\text{VT} = 3\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{0} + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2$$
  $$\text{VT} = 3\overrightarrow{MG}^2 + 0 + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2$$

  Chuyển ngược lại từ bình phương vô hướng của vectơ về bình phương độ dài đoạn thẳng:

  $$\text{VT} = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = \text{VP (Đpcm)}$$

Kết luận: Đẳng thức $MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$ đã được chứng minh hoàn toàn chính xác với mọi điểm $M$.

IV. Ý nghĩa hình học mở rộng: Định lý Leibniz lớp 10

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn xây dựng tư duy hình học sâu sắc và đạt điểm tối đa ở các câu hỏi phân hóa, hệ thức vừa chứng minh ở bài 4.26 chính là nội dung của Định lý Leibniz nổi tiếng:

Ý nghĩa thực tiễn và ứng dụng của định lý này trong các đề thi là gì?

• Bài toán tìm cực trị hình học (Tìm giá trị nhỏ nhất): Đề bài thường có dạng "Tìm vị trí của điểm $M$ để tổng bình phương khoảng cách từ $M$ đến 3 đỉnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất: $(MA^2 + MB^2 + MC^2)_{\min}$".

• Mẹo giải nhanh: Dựa vào hệ thức Leibniz vừa chứng minh, ta thấy đại lượng $(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ là một hằng số hoàn toàn không đổi vì các đỉnh tam giác đã cố định từ trước. Do đó, tổng vế trái đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đoạn thẳng $3MG^2$ nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $MG = 0$, nghĩa là điểm $M$ trùng khít với trọng tâm $G$ của tam giác!

V. Kết luận

Kỹ thuật chèn điểm trọng tâm kết hợp biến đổi bình phương vô hướng là phương pháp mạnh mẽ nhất để xử lý các biểu thức đa đỉnh trong chương IV Toán 10. Việc hiểu rõ bản chất định lý này sẽ giúp học sinh tạo được phản xạ rất tốt trước các bài toán cực trị vectơ nâng cao.