Bài 4.38 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc từng bước được biểu diễn qua ngôn ngữ vectơ giáo khoa.

I. Đề bài tập 4.38 (SGK Toán 10 - Trang 72)

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với độ dài $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Xét một hệ trục tọa độ $Oxy$ vuông góc với hệ vectơ đơn vị gốc được chọn là $\vec{i} = \vec{a}$ và $\vec{j} = \vec{b}$. Chứng minh rằng:

• a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ phẳng là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$.

• b) Hệ thức biểu diễn vectơ: $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\cdot\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\cdot\vec{b}$.

II. Các công thức toán học nền tảng làm đòn bẩy

Để giải quyết bài toán chứng minh định tính này, các em học sinh cần nắm vững 3 định nghĩa giáo khoa sau:

1. Định nghĩa tọa độ vectơ phẳng: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(c; d)$ khi và chỉ khi nó được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng tuyến tính của hai vectơ đơn vị gốc $\vec{i}$ và $\vec{j}$:

   $$\vec{u} = c\cdot\vec{i} + d\cdot\vec{j}$$

2. Tích vô hướng của các vectơ đơn vị vuông góc: Do $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc và có độ dài bằng $1$ nên:

   $$\vec{i}^2 = 1, \quad \vec{j}^2 = 1 \quad \text{và} \quad \vec{i} \cdot \vec{j} = 0$$

3. Tính chất phân phối của tích vô hướng: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.38

a) Chứng minh vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$

• Bước 1: Tọa độ hóa hệ vectơ đơn vị gốc

  Theo giả thiết đề bài, hệ trục tọa độ $Oxy$ chọn hai vectơ đơn vị vuông góc là $\vec{i} = \vec{a}$ và $\vec{j} = \vec{b}$.

  Vì $\vec{i}$ là vectơ đơn vị nằm trên trục hoành $Ox$ nên tọa độ của nó là $\vec{i}(1; 0) \Rightarrow \vec{a}(1; 0)$.

  Vì $\vec{j}$ là vectơ đơn vị nằm trên trục tung $Oy$ nên tọa độ của nó là $\vec{j}(0; 1) \Rightarrow \vec{b}(0; 1)$.

• Bước 2: Gọi tọa độ tổng quát cho vectơ biến thiên $\vec{u}$

  Giả sử trong hệ trục tọa độ $Oxy$ này, vectơ $\vec{u}$ có tọa độ đại số chưa biết là $\vec{u}(c; d)$.

  Theo định nghĩa về mặt tọa độ, vectơ $\vec{u}$ được biểu diễn thông qua hai vectơ đơn vị $\vec{a}$ và $\vec{b}$ như sau:

  $$\vec{u} = c\cdot\vec{a} + d\cdot\vec{b}$$

• Bước 3: Thực hiện phép nhân tích vô hướng để tìm hệ số $c$ và $d$

  • Ta tiến hành nhân vô hướng cả hai vế của biểu thức với vectơ cơ sở $\vec{a}$:

    $$\vec{u} \cdot \vec{a} = (c\cdot\vec{a} + d\cdot\vec{b}) \cdot \vec{a}$$

    Áp dụng tính chất phân phối, ta khai triển dấu ngoặc:

    $$\vec{u} \cdot \vec{a} = c \cdot \vec{a}^2 + d \cdot (\vec{b} \cdot \vec{a})$$

    Mà theo giả thiết, $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$ và do $\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$. Thế vào ta được:

    $$\vec{u} \cdot \vec{a} = c \cdot 1 + d \cdot 0 = c \Rightarrow c = \vec{u} \cdot \vec{a}$$

  • Hoàn toàn tương tự, ta nhân vô hướng cả hai vế của biểu thức với vectơ cơ sở $\vec{b}$:

    $$\vec{u} \cdot \vec{b} = (c\cdot\vec{a} + d\cdot\vec{b}) \cdot \vec{b}$$
    $$\vec{u} \cdot \vec{b} = c \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + d \cdot \vec{b}^2$$

    Thế các giá trị đặc biệt $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ và $\vec{b}^2 = 1$ vào phương trình:

    $$\vec{u} \cdot \vec{b} = c \cdot 0 + d \cdot 1 = d \Rightarrow d = \vec{u} \cdot \vec{b}$$

Kết luận câu a: Thay ngược giá trị hằng số $c$ và $d$ vừa tìm được vào tọa độ giả định ban đầu, ta chứng minh được tọa độ phẳng của vectơ $\vec{u}$ chính là:

b) Chứng minh hệ thức $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\cdot\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\cdot\vec{b}$

• Từ kết quả chứng minh ở câu a, vectơ $\vec{u}$ có tọa độ hoành và tung lần lượt là:

  $$c = \vec{u} \cdot \vec{a} \quad \text{và} \quad d = \vec{u} \cdot \vec{b}$$

• Theo định nghĩa cấu trúc của không gian vectơ, một vectơ có tọa độ $(c; d)$ luôn luôn viết được dưới dạng tổng hình học của các vectơ đơn vị thành phần:

  $$\vec{u} = c\cdot\vec{a} + d\cdot\vec{b}$$

• Tiến hành thay thế đại lượng số thực $c$ và $d$ bằng các biểu thức tích vô hướng tương ứng ở câu a vào phương trình trên, ta thu được đẳng thức:

  $$\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\cdot\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\cdot\vec{b} \quad \text{(Đpcm).}$$

IV. Ý nghĩa hình học mở rộng: Phép chiếu vuông góc lên trục tọa độ

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thêm một góc nhìn sâu sắc mang tầm vóc toán học hiện đại, bài toán 4.38 chính là cơ sở lý thuyết nền tảng của Phép chiếu vuông góc (Orthogonal Projection) trong không gian giải tích phẳng:

Ý nghĩa thực tiễn của đẳng thức toán học này là gì?

• Đại lượng đại số $c = \vec{u} \cdot \vec{a}$ thực chất chính là độ dài đại số của hình chiếu vuông góc từ ngọn của vectơ $\vec{u}$ xuống trục hoành $Ox$ (trục của vectơ chỉ phương $\vec{a}$).

• Đại lượng đại số $d = \vec{u} \cdot \vec{b}$ chính là độ dài đại số của hình chiếu vuông góc từ ngọn của vectơ $\vec{u}$ xuống trục tung $Oy$ (trục của vectơ chỉ phương $\vec{b}$).

• Công thức ở câu b khẳng định một chân lý: "Mọi vectơ tự do trong không gian đều có thể phân rã thành tổng của hai vectơ hình chiếu vuông góc tương ứng của nó trên hai trục tọa độ cơ sở". Đây chính là nền tảng cốt lõi giúp các kỹ sư lập trình đồ họa game hoặc các nhà vật lý phân tích đa hướng lực chuyển động một cách dễ dàng!

V. Kết luận

Bài tập 4.38 tuy là một câu hỏi thuần lý thuyết định tính và có tính trừu tượng cao, nhưng lại vô cùng đắt giá. Nó giúp học sinh không còn học vẹt công thức tọa độ mà hiểu được bản chất toán học sâu xa của các phép chiếu vuông góc bằng tích vô hướng.