Bài 9.31 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ là không đổi

Bài 9.31 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đồ thị của hàm số y = a/x (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.

Phương pháp giải

Để giải bài toán chứng minh này, chúng ta thực hiện theo các bước:

1. Tính đạo hàm: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; y_0)$.

2. Viết phương trình tiếp tuyến: Thiết lập phương trình tổng quát của tiếp tuyến tại $M$.

3. Tìm giao điểm: Xác định tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành ($Ox$) và trục tung ($Oy$).

4. Tính diện tích tam giác: Sử dụng công thức diện tích tam giác vuông $S = \frac{1}{2} OA \cdot OB$ và chứng minh kết quả cuối cùng không phụ thuộc vào $x_0$.

Giải bài 9.31 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giả sử điểm $M(x_0; y_0)$ là một điểm bất kỳ thuộc đường hypebol $(H): y = \frac{a}{x}$ ($x_0 \neq 0$).

Khi đó, tung độ của điểm $M$ là $y_0 = \frac{a}{x_0}$.

Bước 1: Tính đạo hàm và hệ số góc

Ta có đạo hàm của hàm số $y = \frac{a}{x}$:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là: $k = y'(x_0) = -\frac{a}{x_0^2}$.

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M(x_0; \frac{a}{x_0})$ có dạng:

Rút gọn phương trình:

Bước 3: Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ

• Gọi $A$ là giao điểm của $(\Delta)$ với trục tung $Oy$ ($x = 0$):

  $$y_A = -\frac{a}{x_0^2} \cdot 0 + \frac{2a}{x_0} = \frac{2a}{x_0} \Rightarrow A\left(0; \frac{2a}{x_0}\right)$$

• Gọi $B$ là giao điểm của $(\Delta)$ với trục hoành $Ox$ ($y = 0$):

  $$0 = -\frac{a}{x_0^2}x + \frac{2a}{x_0} \Rightarrow \frac{a}{x_0^2}x = \frac{2a}{x_0} \Rightarrow x_B = 2x_0 \Rightarrow B(2x_0; 0)$$

Bước 4: Tính diện tích tam giác $OAB$

Tam giác $OAB$ vuông tại gốc tọa độ $O$. Diện tích tam giác là:

Kết luận: Vì $a$ là hằng số dương nên diện tích $S_{OAB} = 2a$ là một hằng số không đổi. Tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của đường hypebol $y = a/x$ luôn tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi. (ĐPCM)

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm hàm phân thức: $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.

• Phương trình tiếp tuyến: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

• Diện tích tam giác vuông: Luôn sử dụng giá trị tuyệt đối khi tính độ dài đoạn thẳng từ tọa độ điểm để đảm bảo diện tích luôn dương.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên giá trị tuyệt đối: Khi tính độ dài $OA, OB$, nếu không có giá trị tuyệt đối, diện tích có thể bị âm nếu $x_0 < 0$.

• Sai sót khi rút gọn tiếp tuyến: Nhầm lẫn dấu khi nhân phân phối $-\frac{a}{x_0^2}$ với $-x_0$.

• Nhầm lẫn tọa độ giao điểm: Tính sai $x_B$ hoặc $y_A$ dẫn đến triệt tiêu không hết $x_0$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán trắc nghiệm về hypebol $y = \frac{a}{x}$:

1. Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và 2 trục: Luôn bằng $2|a|$.

2. Tọa độ tiếp điểm $M$: Luôn là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nối hai giao điểm với trục tọa độ. ($x_M = \frac{0 + 2x_0}{2} = x_0$).

   Những tính chất đặc biệt này giúp bạn khoanh đáp án đúng chỉ trong vài giây!