Bài 9.4 trang 86 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Bài 9.4 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t². Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Phân tích lý thuyết

Để giải bài toán này, các em cần nắm vững hai kiến thức cốt lõi:

1. Vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$ chính là đạo hàm của hàm số quãng đường (độ cao) theo thời gian tại thời điểm đó: $v(t_0) = h'(t_0)$.

2. Thời điểm chạm đất: Vật chạm đất khi độ cao $h = 0$.

Giải bài 9.4 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số độ cao bằng định nghĩa

Đặt $h = f(t) = 19,6t - 4,9t^2$. Với thời điểm $t_0$ bất kỳ, ta có:

Nhóm các hạng tử chung để khử dạng vô định:

Vậy hàm vận tốc tức thời là: $v(t) = h'(t) = -9,8t + 19,6$.

Bước 2: Tìm thời điểm vật chạm đất

Khi vật chạm đất, độ cao $h = 0$. Ta có phương trình:

• $t = 0$ (giây): Đây là thời điểm vật bắt đầu được phóng đi (loại).

• $t = 4$ (giây): Đây là thời điểm vật chạm đất sau khi bay (nhận).

Bước 3: Tính vận tốc khi chạm đất

Thay $t = 4$ vào hàm vận tốc $v(t)$ đã tìm được ở Bước 1:

Kết luận: Vận tốc của vật khi nó chạm đất là $-19,6$ m/s.

(Lưu ý: Dấu âm chỉ ra rằng tại thời điểm này vật đang chuyển động ngược chiều với chiều dương được chọn - hướng thẳng đứng lên trên).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm bậc nhất của quãng đường theo thời gian là vận tốc.

• Đạo hàm bậc hai của quãng đường (đạo hàm bậc nhất của vận tốc) là gia tốc. Trong bài này gia tốc là $-9,8$ m/s², chính là gia tốc trọng trường.

• Khi giải bài toán vật lý bằng đạo hàm, hãy chú ý đến đơn vị và ý nghĩa của dấu (hướng chuyển động).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Nhầm lẫn thời điểm chạm đất: Nhiều bạn tính đạo hàm xong nhưng không biết tìm $t$ ở đâu để thay vào. Hãy nhớ dữ kiện "chạm đất" tương đương với $h=0$.

2. Sai sót trong biến đổi giới hạn: Khi rút gọn biểu thức đạo hàm bằng định nghĩa, việc đặt dấu trừ ra ngoài ($ -4,9$) dễ gây sai dấu bên trong ngoặc.

3. Lấy cả nghiệm $t=0$: Cần phân biệt ý nghĩa thực tế của các nghiệm trong phương trình bậc hai.

Mẹo giải nhanh

Dùng quy tắc tính đạo hàm nhanh: $(at^2 + bt + c)' = 2at + b$.

Với $h = -4,9t^2 + 19,6t \Rightarrow h' = 2(-4,9)t + 19,6 = -9,8t + 19,6$.

Kết quả này giúp bạn kiểm tra nhanh biểu thức tìm được bằng định nghĩa.