Bài 7.7 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.7 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM ⊥ (SBC), AN ⊥ (SCD), SC ⊥ (AMN).

Phân tích và Phương pháp giải

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chỉ ra đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

Các bước logic chính:

1. Chứng minh các cạnh đáy ($BC, CD$) vuông góc với các mặt bên tương ứng chứa đường cao của chóp.

2. Sử dụng kết quả đó để chứng minh $AM, AN$ vuông góc với các mặt bên $SBC$ và $SCD$.

3. Sử dụng tính chất vuông góc để suy ra $SC$ vuông góc với cả $AM$ và $AN$.

Giải bài 7.7 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

* Cần nhớ: - Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

Ta có hình minh họa như sau:

• Ta có: BC ⊥ AB (vì ABCD là HCN)

BC ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD))

AB ∩ SA = {A}

⇒ BC ⊥ (SAB) mà AM ⊂ (SAB)

⇒ BC ⊥ AM

• Ta có: CD ⊥ AD (vì ABCD là HCN)

 CD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD))

AD ∩ SA = {A}

⇒ CD ⊥ (SAD) mà AN ⊂ (SAB)

⇒ CD ⊥ AN

• Ta có: AM ⊥ SB

 AM ⊥ BC

 SB ∩ BC = {B}

⇒ AM ⊥ (SBC); mà SC ⊂ (SBC)

⇒ SC ⊥ AM

• Ta có: AN ⊥ SD

 AN ⊥ CD

 SD ∩ CD = {D}

⇒ AN ⊥ (SCD); mà SC ⊂ (SCD)

⇒ SC ⊥ AN

• Ta có: AM ⊥ SC

 AN ⊥ SC

 AM ∩ AN = {A}

⇒ SC ⊥ (AMN)