Cách tìm cực trị của hàm số bậc 4 hàm trùng phương (tìm cực đại, cực tiểu của hàm số bậc 4) - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em chi tiết phương pháp giải, điều kiện tồn tại cực trị và các ví dụ minh họa cụ thể.

I. Phương Pháp Tìm Cực Trị Hàm Số Bậc 4 Trùng Phương

Xét hàm số bậc bốn trùng phương:

Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên

• Bước 1: Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Bước 2: Tính đạo hàm $y' = 4ax^3 + 2bx$. Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các nghiệm (điểm tới hạn).

• Bước 3: Lập bảng biến thiên để xét dấu đạo hàm.

• Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực đại và cực tiểu.

Cách 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai

• Bước 1: Tìm tập xác định.

• Bước 2: Tính $f'(x)$, giải phương trình $f'(x) = 0$ và ký hiệu $x_i$ ($i = 1; 2; \dots$) là các nghiệm.

• Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$ và giá trị $f''(x_i)$ tại các điểm nghiệm.

• Bước 4: Dựa vào dấu của $f''(x_i)$ để suy ra tính chất cực trị:

  • Nếu $f''(x_i) < 0$: $x_i$ là điểm cực đại.

  • Nếu $f''(x_i) > 0$: $x_i$ là điểm cực tiểu.

II. Ví dụ Minh Họa Chi Tiết

Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$

Lời giải:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)$.

• Nghiệm đạo hàm: $y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (vì $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$).

• Bảng biến thiên:

Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ với giá trị cực tiểu $y_{CT} = -3$. Hàm số không có điểm cực đại.

Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$

Lời giải:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.

• Nghiệm đạo hàm: $y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = -1; x = 1$.

• Xét đạo hàm cấp hai: $y'' = 12x^2 - 4$.

  • Tại $x = 0$: $y''(0) = -4 < 0 \Rightarrow x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.

  • Tại $x = 1$: $y''(1) = 8 > 0 \Rightarrow x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.

  • Tại $x = -1$: $y''(-1) = 8 > 0 \Rightarrow x = -1$ là điểm cực tiểu của hàm số.