Hotline 0936685849

Bài 2 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Xét Tính Đơn Điệu & Cực Trị

15:11:0419/03/2024

Bài 2 trang 13 Toán 12 Tập 1 thuộc chương "Đạo hàm, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số". Bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về cách xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm.

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=4x^3+3x^2-36x+6$

b) $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$

Phân tích kiến thức và hướng dẫn giải chi tiết

1. Phương pháp giải

Để xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của một hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y'.
Bước 3: Tìm các nghiệm của phương trình $y'=0$ hoặc các điểm mà tại đó y' không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên để xét dấu của $y'$ , từ đó suy ra tính đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số.

2. Lời giải chi tiết bài 2 trang 13 Toán 12

a) Hàm số $y=4x^3+3x^2-36x+6$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ .
Đạo hàm: $y'=12x^2+6x-36$
Giải phương trình $y'=0$ :

$12x^2+6x-36=0$

$2x^2+x-6=0$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

$\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot(-6)=1+48=49>0$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-1-7}{4}=-2$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-1+7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
Bảng biến thiên

Giá trị cực đại: $y_{C}=y(-2)=4(-2)^3+3(-2)^2-36(-2)+6=-32+12+72+6=58$ .
Giá trị cực tiểu: $y_{CT}=y(\frac{3}{2})=4(\frac{3}{2})^3+3(\frac{3}{2})^2-36(\frac{3}{2})+6=\frac{27}{2}+\frac{27}{4}-54+6=-\frac{111}{4}$ .
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$v$(\frac{3}{2};+\infty)$ .
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;\frac{3}{2})$ .
- Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ và $y_{C}=58$ .
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}$ và $y_{CT}=-\frac{111}{4}$ .

b) Hàm số $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$ .
Đạo hàm: Sử dụng công thức $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ . $u=x^2-2x-7\Rightarrow u'=2x-2$ ; $v=x-4\Rightarrow v'=1$

$y'=\frac{(2x-2)(x-4)-(x^2-2x-7)}{(x-4)^2}=\frac{2x^2-8x-2x+8-x^2+2x+7}{(x-4)^2}$ $=\frac{x^2-8x+15}{(x-4)^2}$
Giải phương trình $y'=0$:$x^2-8x+15=0$ Sử dụng công thức nghiệm, ta có:

$x_1=\frac{4-1}{1}=3$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

$x_2=\frac{4+1}{1}=5$ (thỏa mãn ĐKXĐ)
Bảng biến thiên:

Câu b bài 2 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Giá trị cực đại: $y_{CD}=y(3)=\frac{3^2-2\cdot 3-7}{3-4}=\frac{9-6-7}{-1}=\frac{-4}{-1}=4$ .
Giá trị cực tiểu: $y_{CT}=y(5)=\frac{5^2-2\cdot 5-7}{5-4}=\frac{25-10-7}{1}=8$ .
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;3)$ và $(5;+\infty)$ .
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(3;4)$ và $(4;5)$ .
- Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ và $y_{C}=4$ .
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ và $y_{CT}=8$ .

Tổng kết và lời khuyên

Bài toán này giúp các em làm quen với việc khảo sát các hàm số đa thức và phân thức. Nắm vững quy trình tìm đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 và lập bảng biến thiên là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Bài 1 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11...

Bài 3 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm cực trị của hàm số sau: a) y = 2x³ + 3x² - 36x + 1...

Bài 4 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng hàm số y = (2x + 1)/(x - 3) nghịch biến trên từng khoảng...

Bài 5 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính...

Bài 6 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định ...

Bài 7 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị...