Bài 6 trang 13 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t³ - 6t² + 9t với t ≥ 0. Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t), v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại điểm t, kí hiệu a(t).

a) Tìm các hàm v(t) và a(t)

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, các em cần nắm vững mối quan hệ giữa vị trí, vận tốc và gia tốc:

• Vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của hàm vị trí $x(t)$.

• Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của hàm vận tốc $v(t)$.

• Tính đơn điệu của vận tốc: Vận tốc tăng khi gia tốc dương ($a(t)>0$) và vận tốc giảm khi gia tốc âm ($a(t)<0$).

Dựa vào mối quan hệ này, các em sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm để tìm hàm vận tốc và gia tốc.

2. Xét dấu của hàm gia tốc để xác định các khoảng vận tốc tăng, giảm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: v(t) = x'(t) = 3t² - 12t + 9

a(t) = v'(t) = 6t - 12

b) Tập xác định: D = [0; +∞]

a(t) = 0 ⇔ t = 2

Ta có bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm, từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng