Bài 3 trang 74 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 74 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:

Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được cho ở bảng sau:

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4m. Hỏi chiều cao của cây keo này có phải là giá trị ngoại lệ không?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao của 100 cây keo. Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

* Khoảng biến thiên (R): Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.

* Khoảng tứ phân vị (ΔQ​): Là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q3​) và tứ phân vị thứ nhất (Q1​).

b) Nhận biết giá trị ngoại lệ: Một giá trị được coi là ngoại lệ nếu nó nằm ngoài khoảng từ Q₁​−1,5ΔQ​ đến Q₃​+1,5ΔQ​.

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức ước lượng tứ phân vị cho dữ liệu ghép nhóm để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 9,4 – 8,4 = 1 (m).

Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₀₀ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₅ ∈ [8,4; 8,6), x₆; …; x₁₇ ∈ [8,6; 8,8), x_18­; …; x₄₂ ∈ [8,8; 9,0),

   x₄₃; …; x₈₆ ∈ [9,0; 9,2), x₈₇; …; x₁₀₀ ∈ [9,2; 9,4).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\left(x_{25}+x_{26}\right)$ ∈ [8,8; 9,0).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\left(x_{75}+x_{76}\right)$ ∈ [9,0; 9,2).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,15 – 8,864 = 0,286.

b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4 m thuộc nhóm [8,4; 8,6).

Vì Q₁ – 1,5∆_Q = 8,864 – 1,5 ∙ 0,286 = 8,435 > 8,4

nên chiều cao của cây keo cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.