Bài 8 trang 86 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.

a) Hãy xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho biểu đồ về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B. Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm: Từ biểu đồ, ta sẽ trích xuất dữ liệu và lập bảng thống kê chi tiết.

b) So sánh độ đồng đều theo khoảng tứ phân vị (ΔQ​): ΔQ​ càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều. Ta sẽ ước lượng ΔQ​ cho từng trường và so sánh.

c) So sánh độ đồng đều theo độ lệch chuẩn (S): $S$ càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều. Ta sẽ ước lượng $S$ cho từng trường và so sánh.

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức ước lượng cho dữ liệu ghép nhóm để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Giá trị đại diện của nhóm [5; 6) là 5,5.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 7) là 6,5.

Giá trị đại diện của nhóm [7; 8) là 7,5.

Giá trị đại diện của nhóm [8; 9) là 8,5.

Giá trị đại diện của nhóm [9; 10) là 9,5.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

b) Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu n_A = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₈ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [5; 6), x₅; …; x₉ ∈ [6; 7), x₁₀; x₁₁; x₁₂ ∈ [7; 8),

   x₁₃; …; x₁₆ ∈ [8; 9), x₁₇; x₁₈ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₅ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₄ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,375 – 6,1 = 2,275.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu n_B = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₅ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂ ∈ [5; 6), x₃; …; x₇ ∈ [6; 7), x₈; …; x₁₁ ∈ [7; 8),

   x₁₂; x₁₃; x₁₄ ∈ [8; 9), x₁₅ ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₄ ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₁₂ ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 8,083 – 6,35 ≈1,73

Vì ∆_Q = 2,275 > ∆'_Q ≈ 1,73 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

c) Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S²_A= [4∙(5,5)² + 5∙(6,5)² + 3∙(7,5)² + 4∙(8,5)² + 2∙(9,5)²] – (65/9)² = 569/324 .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S²_B=[2∙(5,5)² + 5∙(6,5)² + 4∙(7,5)² + 3∙(8,5)² + 1∙(9,5)²] – (217/30)²

= 284/225 .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vì S_A ≈ 1,33 > S_B ≈ 1,12 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.