Bài 7 trang 86 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

a) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho bảng tần số ghép nhóm về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của hai trạm quan trắc ở Nha Trang và Quy Nhơn.

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) So sánh độ đồng đều theo khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị (ΔQ​) càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều. Ta sẽ ước lượng ΔQ​ cho từng trạm và so sánh.

b) So sánh độ đồng đều theo độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn ($S$) càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều. Ta sẽ ước lượng $S$ cho từng trạm và so sánh.

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức ước lượng cho dữ liệu ghép nhóm để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Cỡ mẫu n = 20.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁ ∈ [130; 160), x₂ ∈ [160; 190), x₃ ∈ [190; 220),

   x₄; …; x₁₁ ∈ [220; 250), x₁₂; …; x₁₈ ∈ [250; 280), x₁₉; x₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là (x₅ + x₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là (x₁₅ + x₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ ≈ 267,143 – 227,5 = 39,643.

Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi y₁; y₂; …; y₂₀ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁ ∈ [160; 190), y₂; y₃ ∈ [190; 220), y₄; …; y₇ ∈ [220; 250),

   y₈; …; y₁₇ ∈ [250; 280), y₁₈; y₁₉; y₂₀ ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là (y₅ + y₆) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12(y₁₅ + y₁₆) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = 274 – 235 = 39.

Vì ∆_Q ≈ 39,64 > ∆'_Q = 39 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

b) Ta có bảng sau:

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S²_N=(1∙145² + 1∙175² + 1∙205² + 8∙235² + 7∙265² + 2∙295²) – (242,5)²

= 1248,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S²_Q=(1∙175² + 2∙205² + 4∙235² + 10∙265² + 3∙295²) – 253² = 936.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

.

Vì S_N ≈ 35,54 > S_N ≈ 30,59 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.