Bài 3 trang 83 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

09:49:2721/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 3 trang 83 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập và củng cố kiến thức về phân tích dữ liệu thống kê, bao gồm tính các số đo xu thế trung tâm và độ phân tán.

Đề bài:

Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42;46] và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho bảng số liệu thô về tốc độ của 20 xe hơi. Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Tính các số đo cho mẫu số liệu gốc: Bao gồm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn.

b) Lập bảng tần số ghép nhóm: Phân chia các giá trị vào các khoảng đã cho.

c) Tính các số đo cho mẫu số liệu ghép nhóm: Ước lượng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn.

Chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách cẩn thận để đảm bảo tính chính xác.

Lời giải chi tiết:

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

Do đó, $Q_1=\frac{46,7+46,8}{2}=46,75$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

Do đó, $Q_3=\frac{54,8+55,6}{2}=55,2$ .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{42+43,4+43,4+46,5+...+59,6+60,3+61,1}{20}=50,945$

Phương sai của mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{20}$ [42² + (43,4)² + (43,4)² + … + (60,3)² + (61,1)²] – (50,945)² ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$S = \sqrt{S^{2}} \approx \sqrt{32, 2} \approx 5, 675$ .

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Số xe	3	7	4	3	3

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54),

x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} (x_{5} + x_{6})$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q'_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}.(50-46)=\frac{330}{7}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} (x_{15} + x_{16})$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q'_3=54+\frac{\frac{3.20}{4}-(3+7+4)}{3}(58-54)=\frac{166}{3}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{166}{3} - \frac{330}{7} = \frac{172}{21}$ ≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Tốc độ (km/h)	[42; 46)	[46; 50)	[50; 54)	[54; 58)	[58; 62)
Giá trị đại diện	44	48	52	56	60
Số xe	3	7	4	3	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x'}=\frac{3.44+7.48+4.52+3.56+3.60}{20}=51,2$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S'² = $\frac{1}{20}$ (3.44² + 7.48² + 4.52² + 3.56² + 3.60²) – (51,2)² = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{'} = \sqrt{{S^{'}}^{2}} = \sqrt{26, 56} = \frac{2 \sqrt{166}}{5} \approx 5, 154$ .

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện các kỹ năng thống kê cơ bản:

Tính các số đo (R, $Δ_{Q}$ , S) từ dữ liệu gốc.
Lập bảng tần số ghép nhóm và ước lượng các số đo từ bảng đó. Việc nắm vững các công thức này là chìa khóa để phân tích và xử lý dữ liệu một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 82 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên...Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn...

Bài 2 trang 82 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin của...

Bài 4 trang 83 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Một số giống cây xoan đào được trồng tại hai điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một..