Hotline 0936685849

Bài 13 trang 66 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

08:02:5321/03/2024

Trong hình học giải tích, việc tính toán độ dài của một vectơ, đặc biệt là tổng của hai vectơ, là một kỹ năng quan trọng. Bài toán này không chỉ áp dụng công thức cơ bản mà còn liên hệ với khái niệm góc giữa hai vectơ. Bài viết sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết Bài 13 trang 66 Toán 12 tập 1 sách Chân trời sáng tạo, giúp bạn nắm vững phương pháp và công thức cần thiết.

Đề bài:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau góc 60^o. Biết rằng $\left | \overrightarrow{u} \right |=2$ và $\left |\overrightarrow{v} \right |=4$

Tính $\left |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right |$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tính độ dài của véc-tơ tổng $\vec{u}+\vec{v}$ , chúng ta sẽ sử dụng công thức tính bình phương độ dài véc-tơ. Công thức này cho phép chúng ta chuyển đổi bài toán về độ dài thành một bài toán tính tích vô hướng, từ đó sử dụng góc giữa hai véc-tơ.

Công thức áp dụng:

Bình phương độ dài của một véc-tơ:

$|\vec{a}|^2=\vec{a}^2=\vec{a}\cdot\vec{a}$
Bình phương độ dài của tổng hai véc-tơ:

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
Tích vô hướng của hai véc-tơ:
$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\vec{u},\vec{v})$

Kết hợp các công thức trên, ta có thể tính $|\vec{u}+\vec{v}|^2$ bằng cách thay thế tích vô hướng bằng công thức có liên quan đến độ dài và góc.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức bình phương độ dài véc-tơ tổng, ta có:

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2$

Thay thế tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$ bằng công thức có liên quan đến góc:

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\vec{u},\vec{v})+|\vec{v}|^2$

Thay các giá trị đã cho: $|\vec{u}|=2\),\(|\vec{v}|=4$ và góc giữa hai véc-tơ là 60^o.

Ta có $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ .

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=2^2+2\cdot 2\cdot 4\cdot\cos(60^\circ)+4^2$

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=4+2\cdot 2\cdot 4\cdot\frac{1}{2}+16$

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=4+8+16=28$

Vậy, độ dài của véc-tơ $\vec{u}+\vec{v}$ là:

$|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$

Bài toán này đã củng cố kiến thức về mối quan hệ giữa độ dài véc-tơ, tích vô hướng và góc giữa hai véc-tơ. Cụ thể, bạn đã học được cách sử dụng công thức bình phương độ dài để giải quyết các bài toán về độ dài véc-tơ tổng. Điểm mấu chốt là biến đổi $|\vec{u}+\vec{v}|^2$ về dạng $|\vec{u}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha+|\vec{v}|^2$ .

Đây là một kỹ năng quan trọng trong hình học giải tích và vật lý, thường được dùng để tính toán các đại lượng véc-tơ mà không cần biết tọa độ cụ thể của chúng.

• Xem thêm:

Bài 8 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm A(-1; 2; 3), B(1; 0; 2). Tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}$ là...