Hotline 0936685849

Bài 11 trang 66 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

07:50:5721/03/2024

Trong hình học giải tích Oxyz, việc thực hiện các phép toán trên véc-tơ như cộng, trừ và nhân với một số là kiến thức cơ bản nhưng rất quan trọng. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết Bài 11 trang 66 Toán 12 tập 1 sách Chân trời sáng tạo, một bài toán điển hình về việc tìm tọa độ của một véc-tơ được xác định qua tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ khác.

Đề bài:

Cho $\overrightarrow{u}$ = (2; -5; 3), $\overrightarrow{v}$ = (0; 2; -1), $\overrightarrow{w}$ = (1; 7; 2).

Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm tọa độ của véc-tơ $\vec{a}$ , chúng ta sẽ thực hiện các phép toán tương ứng trên từng thành phần tọa độ (hoành độ, tung độ, cao độ) của các véc-tơ đã cho.

Công thức áp dụng: Nếu $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1),\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$ , và k là một số thực, thì:

Phép trừ véc-tơ: $\vec{u}-\vec{v}=(x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2)$
Phép nhân một số với véc-tơ: $k\vec{v}=(kx_2;ky_2;kz_2)$

Kết hợp hai phép toán trên, chúng ta có thể tính tọa độ của véc-tơ $\vec{a}$ bằng cách thực hiện phép tính trên từng thành phần tọa độ của $\vec{u}$ , $-4\vec{v}$ và $-2\vec{w}$ .

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính tọa độ của các véc-tơ $-4\vec{v}$ và $-2\vec{w}$

Ta có $\vec{v}=(0;2;-1)$ .

Vậy: $-4\vec{v}=(-4\cdot 0;-4\cdot 2;-4\cdot(-1))=(0;-8;4)$
Ta có $\vec{w}=(1;7;2)$ .

Vậy: $-2\vec{w}=(-2\cdot 1;-2\cdot 7;-2\cdot 2)=(-2;-14;-4)$

Bước 2: Cộng các véc-tơ đã biến đổi

Bây giờ, ta tìm tọa độ của véc-tơ $\vec{a}=\vec{u}-4\vec{v}-2\vec{w}$ bằng cách cộng từng thành phần tọa độ của $\vec{u},-4\vec{v}$ và .

Hoành độ: $x_a=x_u+x_{-4v}+x_{-2w}=2+0+(-2)=0$
Tung độ: $y_a=y_u+y_{-4v}+y_{-2w}=-5+(-8)+(-14)=-27$
Cao độ: $z_a=z_u+z_{-4v}+z_{-2w}=3+4+(-4)=3$

Vậy, tọa độ của véc-tơ $\vec{a}$ là (0; -27; 3).

Bài toán này đã giúp bạn củng cố kiến thức về phép toán cộng, trừ véc-tơ và phép nhân một số với véc-tơ trong không gian Oxyz. Điểm mấu chốt cần nhớ là:

Tất cả các phép toán trên véc-tơ đều được thực hiện trên từng thành phần tọa độ tương ứng.
Véc-tơ kết quả sẽ có tọa độ là tổng (hoặc hiệu) các thành phần tọa độ của các véc-tơ ban đầu sau khi đã nhân với hệ số thích hợp.

Nắm vững các phép toán véc-tơ này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về tích vô hướng, tích có hướng, hay các bài toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

• Xem thêm:

Bài 8 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm A(-1; 2; 3), B(1; 0; 2). Tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}$ là...