Hotline 0936685849

Bài 12 trang 66 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tọa Độ Điểm & Độ Dài Đoạn Thẳng

07:59:2621/03/2024

Bài 12 trang 66 Toán 12 Tập 1 thuộc chương "Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian". Bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về vectơ trong không gian và công thức tính độ dài đoạn thẳng.

Đề bài

Cho ba điểm $A (0; 1; 2)$ , $B (1; 2; 3)$ , $C (1; - 2; - 5)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $MB = 3 MC$ . Tính độ dài đoạn thẳng $A M$ .

Phân tích kiến thức và hướng dẫn giải chi tiết

1. Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính:

Bước 1: Tìm tọa độ của điểm $M$ . Dựa vào điều kiện $M$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và $MB = 3 MC$ , ta có thể thiết lập một mối quan hệ vectơ giữa $MB$ và $MC$ . Từ đó, giải hệ phương trình để tìm tọa độ của $M$ .
Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng $A M$ . Sau khi có tọa độ của $A$ và $M$ , ta sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian để tìm $A M$ .

2. Lời giải chi tiết bài 12 trang 66 Toán 12

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M Vì $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $MB = 3 MC$ , suy ra vectơ $MB$ và $MC$ ngược hướng. Do đó, ta có mối quan hệ vectơ: $\vec{MB}=-3\vec{MC}$

Gọi tọa độ điểm $M$ là $(x; y; z)$ . Ta có tọa độ các vectơ: $\vec{MB}=(1-x;2-y;3-z)$ , $\vec{MC}=(1-x;-2-y;-5-z)$

Thay vào mối quan hệ vectơ, ta có hệ phương trình: $\begin{cases}1-x=-3(1-x)\\2-y=-3(-2-y)\\3-z=-3(-5-z)\end{cases}$

Giải hệ phương trình này: $\begin{cases}1-x=-3+3x\\2-y=6+3y\\3-z=15+3z\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}4=4x\\-4=4y\\-12=4z\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=-1\\z=-3\end{cases}$

Vậy, tọa độ của điểm $M$ là $(1;-1;-3)$ .

Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng AM Tọa độ của điểm $A$ là $(0;1;2)$ và tọa độ của điểm $M$ là $(1;-1;-3)$ . Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian:

$AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2+(z_M-z_A)^2}$

$AM=\sqrt{(1-0)^2+(-1-1)^2+(-3-2)^2}$

$AM=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-5)^2}$

$AM=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$

Tổng kết và lời khuyên

Đáp số: Độ dài đoạn thẳng $A M$ là $\sqrt{30}$ .

Bài toán này là một ứng dụng cơ bản của vectơ trong hình học không gian. Nắm vững cách thiết lập mối quan hệ vectơ và sử dụng công thức tính khoảng cách sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn một cách dễ dàng. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm Giải Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo SGK

> Bài 11 trang 66 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho $\overrightarrow{u}$ = (2; -5; 3), $\overrightarrow{v}$ = (0; 2; -1), $\overrightarrow{w}$ = (1; 7; 2). Tìm tạo độ của vectơ...