Bài 12 trang 66 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tọa Độ Điểm & Độ Dài Đoạn Thẳng

Đề bài

Cho ba điểm $A(0;1;2)$, $B(1;2;3)$, $C(1;-2;-5)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $MB=3MC$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.

Phân tích và hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính:

• Bước 1: Tìm tọa độ của điểm $M$. Dựa vào điều kiện $M$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và $MB=3MC$, ta có thể thiết lập một mối quan hệ vectơ giữa MB và MC. Từ đó, giải hệ phương trình để tìm tọa độ của $M$.

• Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng $AM$. Sau khi có tọa độ của $A$ và $M$, ta sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian để tìm $AM$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M Vì $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $MB=3MC$, suy ra vectơ MB và MC ngược hướng. Do đó, ta có mối quan hệ vectơ: 

Gọi tọa độ điểm $M$ là $(x;y;z)$. Ta có tọa độ các vectơ: , 

Thay vào mối quan hệ vectơ, ta có hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình này: 

Vậy, tọa độ của điểm $M$ là .

Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng AM Tọa độ của điểm $A$ là  và tọa độ của điểm $M$ là . Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian:

Đáp số: Độ dài đoạn thẳng $AM$ là .