Bài 6 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho các điểm A(-1; -1; 0), B(0; 3; -1), C(-1; 14; 0), D(-3; 6; 2)

Chứng minh rằng ABCD là hình thang

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh tứ giác ABCD là một hình thang, chúng ta cần chứng minh nó có ít nhất một cặp cạnh đối song song.

Hai vector  và  được gọi là cùng phương (tức là song song) khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho .

Các bước thực hiện:

1. Tính tọa độ các vector của các cặp cạnh đối. Ví dụ:  và .

2. Kiểm tra tính cùng phương của các cặp vector đối diện. Nếu tìm thấy một cặp vector cùng phương, ta có thể kết luận tứ giác là hình thang.

3. Kiểm tra tính không thẳng hàng: Để đảm bảo hình đó là hình thang mà không phải là một đoạn thẳng, ta cần chứng tỏ các vector kề nhau không cùng phương. Ví dụ:  và  không cùng phương.

Lời giải chi tiết:

1. Tính tọa độ các vector

Ta tính tọa độ của các vector  và :

2. Kiểm tra tính cùng phương

Ta so sánh tọa độ của  và :

.

.

Ta nhận thấy:

Điều này có nghĩa là .

Vì tồn tại một số thực k = 2 sao cho , nên hai vector này cùng phương.

3. Kiểm tra tính không thẳng hàng

Để đảm bảo ABCD là hình thang, ta cần chứng tỏ hai vector kề nhau (ví dụ  và ) không cùng phương.

• .

• .

  Ta thấy rõ ràng  không thể biểu diễn dưới dạng , nên hai vector này không cùng phương. Vậy, ABCD không phải là một đoạn thẳng.

Vì tứ giác ABCD có một cặp cạnh đối AB và CD song song ( và } cùng phương), nên ABCD là một hình thang.