Bài 3 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho ba điểm A(2; 1; -1), B(3; 2; 0) và C(2; -1; 3)

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính chu vi:

- Để chứng minh ba điểm không thẳng hàng, ta cần chứng tỏ hai vector tạo bởi ba điểm đó (ví dụ:  và ) không cùng phương.

- Chu vi tam giác là tổng độ dài ba cạnh AB + BC + CA.

b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh:

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm .

c) Tìm tọa độ trọng tâm G:

Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm .

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính chu vi

Đầu tiên, ta tính tọa độ của các vector ,  và :

• .

• .

• .

Để chứng minh A, B, C không thẳng hàng, ta xét xem  và  có cùng phương không.

Ta có .

Hệ phương trình:

Phương trình đầu tiên  là vô lý.

Do đó, không tồn tại số k nào thỏa mãn.

Vậy,  và  không cùng phương, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.

Tiếp theo, ta tính chu vi tam giác ABC bằng cách tính độ dài các cạnh:

• .

• .

• .

  Chu vi tam giác ABC là: .

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

• Trung điểm M của AB:  hay .

• Trung điểm N của BC: hay .

• Trung điểm P của CA:  hay .

c) Tìm tọa độ trọng tâm G

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

hay