Bài 6 trang 86 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho bảng tần số ghép nhóm về thời gian viết chính tả của học sinh hai trường X và Y. Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) So sánh tốc độ viết theo số trung bình: Tốc độ viết nhanh hơn tương ứng với thời gian hoàn thành trung bình nhỏ hơn. Ta sẽ ước lượng số trung bình () cho từng trường và so sánh.

b) So sánh độ đồng đều theo khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị (ΔQ​) càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều. Ta sẽ ước lượng ΔQ​ cho từng trường và so sánh.

c) So sánh độ đồng đều theo độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn ($S$) càng nhỏ thì dữ liệu càng đồng đều. Ta sẽ ước lượng $S$ cho từng trường và so sánh.

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức ước lượng cho dữ liệu ghép nhóm để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu n_X = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, n_Y = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

.

Vì  nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b) Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi x₁; x₂; …; x₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₈ ∈ [6; 7), x₉; …; x₁₈ ∈ [7; 8), x₁₉; …; x₃₁ ∈ [8; 9),

   x₃₂; …; x₄₁ ∈ [9; 10), x₄₂; …; x₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,65 – 7,45 = 2,2.

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi y₁; y₂; …; y₅₀ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; …; y₄ ∈ [6; 7), y₅; …; y₁₆ ∈ [7; 8), y₁₇; …; y₃₃ ∈ [8; 9),

   y₃₄; …; y₄₇ ∈ [9; 10), y₄₈; y₄₉; y₅₀ ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y₁₃ ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y₃₈ ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ ≈ 9,32− 7,71 ≈ 1,61 .

Vì ∆_Q = 2,2 > ∆'_Q ≈ 1,61 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

S²_X=[8∙(6,5)² + 10∙(7,5)² + 13∙(8,5)² + 10∙(9,5)² + 9∙(10,5)²] – (8,54)² = 1,7584.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

S²_Y=[4∙(6,5)² + 12∙(7,5)² + 17∙(8,5)² + 14∙(9,5)² + 3∙(10,5)²] – (8,5)² = 1,08.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là: