Bài 4 trang 74 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Hai bảng tần số ghép nhóm dưới đây thống kê theo độ tuổi số lượng thành viên nam và thành viên nữ đang sinh hoạt trong một câu lạc bộ dưỡng sinh.

a) Hãy tính các khoảng tứ phân vị của tuổi nam giới và nữ giới trong mỗi bảng số liệu ghép nhóm trên.

b) Hãy cho biết trong câu lạc bộ trên, nam giới hay nữ giới có tuổi đồng đều hơn.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hai bảng tần số ghép nhóm về tuổi của nam và nữ trong một câu lạc bộ dưỡng sinh. Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Tính khoảng tứ phân vị: Để tính khoảng tứ phân vị (ΔQ​=Q₃​−Q₁​), ta cần ước lượng tứ phân vị thứ nhất (Q1​) và thứ ba (Q3​) cho từng mẫu số liệu.

b) So sánh độ đồng đều: Khoảng tứ phân vị càng nhỏ thì mẫu số liệu càng đồng đều.

Chúng ta sẽ sử dụng công thức ước lượng tứ phân vị cho dữ liệu ghép nhóm:

Trong đó: $n$ là cỡ mẫu, $L$ là đầu mút trái của nhóm chứa Q_k​, C_m−1​ là tần số tích lũy của nhóm trước đó, n_m​ là tần số của nhóm chứa Q_k​, $h$ là chiều rộng của nhóm.

Lời giải chi tiết:

a) Tính các khoảng tứ phân vị 

• Nam giới:

Cỡ mẫu n = 4 + 7 + 4 + 6 + 15 + 12 + 2 = 50.

Gọi x₁; x₂; …; x₅₀ là mẫu số liệu gốc về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; …; x₄ ∈ [50; 55), x₅; …; x₁₁ ∈ [55; 60), x_12­; …; x₁₅ ∈ [60; 65),

   x₁₆; …; x₂₁ ∈ [65; 70), x₂₂; …; x₃₆ ∈ [70; 75), x₃₇; …; x₄₈ ∈ [75; 80),

   x₄₉; x₅₀ ∈ [80; 85).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [60; 65).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [75; 80).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nam giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 75,625 – 61,875 = 13,75.

• Nữ giới:

Cỡ mẫu n' = 3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14 + 13 + 1 = 50.

Gọi y₁; y₂; …; y₅₀ là mẫu số liệu gốc về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y₁; …; y₄ ∈ [50; 55), y₄; …; y₇ ∈ [55; 60), y_8­; …; y₁₂ ∈ [60; 65),

   y₁₃; …; x₁₅ ∈ [65; 70), y₁₆; …; y₂₂ ∈ [70; 75), y₂₃; …; y₃₆ ∈ [75; 80),

   y₃₇; …; y₄₉ ∈ [80; 85), y₅₀ ∈ [85; 90).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y₁₃ ∈ [65; 70).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y₃₈ ∈ [80; 85).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi của nữ giới đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{\mathrm{2095/}}{26}-\frac{\mathrm{395/}}{6}=\frac{\mathrm{575,}}{39}$ ≈ 14,74.

b) Ta có ∆'_Q ≈ 14,74 > ∆_Q = 13,75

nên trong câu lạc bộ dưỡng sinh, nam giới có tuổi đồng đều hơn.