Hotline 0936685849

Bài 5 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

06:36:0821/03/2024

Hình bình hành là một trong những hình học quen thuộc nhất, và việc tìm tọa độ đỉnh còn lại của nó trong không gian Oxyz là một dạng bài tập phổ biến. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết Bài 5 trang 65 Toán 12 tập 1 sách Chân trời sáng tạo một cách chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.

Bài 5 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:

Cho A(1; 2; -1), B(2; 1; -3), C(-3; 5; 1)

Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành có tọa độ là:

A. D(-4; 6; 3)

B. D(-2; 2; 5)

C. D(-2; 8; -3)

D. D(-4; 6; -5)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại tính chất cơ bản của hình bình hành: hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Trong không gian Oxyz, điều này có nghĩa là các cặp véc-tơ đối diện sẽ bằng nhau.

Với hình bình hành ABCD, ta có:

Véc-tơ $\vec{AB}$ bằng véc-tơ $\vec{DC}$ .
Hoặc, véc-tơ $\vec{AD}$ bằng véc-tơ $\vec{BC}$ .

Ta sẽ sử dụng đẳng thức véc-tơ $\vec{AB}=\vec{DC}$ để tìm tọa độ điểm D.

Trước hết, ta tính tọa độ véc-tơ $\vec{AB}$ bằng công thức: $\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

Giả sử điểm D có tọa độ là $(x_{D}; y_{D}; z_{D})$ , ta sẽ có tọa độ véc-tơ $\vec{DC}$ là: $\vec{DC}=(x_C-x_D;y_C-y_D;z_C-z_D)$

Vì $\vec{AB}=\vec{DC}$ , các thành phần tương ứng của chúng phải bằng nhau:

$x_{B} - x_{A} = x_{C} - x_{D}$
$y_{B} - y_{A} = y_{C} - y_{D}$
$z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}$

Từ đó, ta có thể suy ra tọa độ của điểm D:

$x_D=x_C+x_A-x_B$
$y_D=y_C+y_A-y_B$
$z_D=z_C+z_A-z_B$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính tọa độ véc-tơ $\vec{AB}$

Với $A (1; 2; - 1)$ và $B (2; 1; - 3)$ , ta có: $\vec{AB}=(2-1;1-2;-3-(-1))=(1;-1;-2)$

Bước 2: Tìm tọa độ điểm D

Giả sử $D (x_{D}; y_{D}; z_{D})$ . Ta có véc-tơ $\overrightarrow{DC}$ $= (x_{C} - x_{D}; y_{C} - y_{D}; z_{C} - z_{D}) = (- 3 - x_{D}; 5 - y_{D}; 1 - z_{D})$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = D C$ , ta có hệ phương trình:

$1=-3-x_D\Rightarrow x_D=-3-1=-4$
$-1=5-y_D\Rightarrow y_D=5-(-1)=6$
$-2=1-z_D\Rightarrow z_D=1-(-2)=3$

Vậy, tọa độ điểm D là (-4; 6; 3).

So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A trùng khớp với kết quả vừa tìm được.

Đáp án đúng: A. D(-4; 6; 3)

Qua bài toán này, bạn đã ôn tập và áp dụng thành công tính chất véc-tơ của hình bình hành để tìm tọa độ một đỉnh khi biết ba đỉnh còn lại. Việc giải quyết bài toán này không chỉ củng cố kiến thức về phép toán véc-tơ mà còn giúp bạn nắm được một trong những phương pháp cơ bản nhất trong hình học giải tích Oxyz. Bạn có thể sử dụng phương pháp tương tự để giải các bài toán liên quan đến hình thang, hình thoi, hình chữ nhật,... bằng cách xác định các đẳng thức véc-tơ phù hợp.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ . Tọa độ của điểm M là: A. M(0; 2; 1)...