Bài 4 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz)

b) M', M'', M''' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM'

• MM'' vuông góc và cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM''

• MM''' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM'''

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần nhớ lại các quy tắc sau:

1. Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng tọa độ: Để tìm hình chiếu của một điểm  lên mặt phẳng , ta cho tọa độ z bằng 0, ta được . Tương tự với các mặt phẳng khác.

2. Tọa độ trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì tọa độ của I là trung bình cộng của tọa độ A và B. .

3. Điều kiện vuông góc: Vector  vuông góc với mặt phẳng  khi  cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng đó. Hoặc  vuông góc với trục Ox khi hoành độ của  bằng 0.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm tọa độ hình chiếu của M trên các mặt phẳng tọa độ

Điểm M(1; 2; 3):

• Hình chiếu trên (Oxy): Ta giữ nguyên tọa độ x và y, cho z = 0.

  .

• Hình chiếu trên (Oyz): Ta giữ nguyên tọa độ y và z, cho x = 0.

  .

• Hình chiếu trên (Oxz): Ta giữ nguyên tọa độ x và z, cho y = 0.

  .

b) Tìm tọa độ các điểm M', M", M'''

• Tìm tọa độ điểm M':  là trung điểm của .

  Tọa độ của  là .

  Ta có công thức trung điểm:

  Vậy, .

• Tìm tọa độ điểm M":  vuông góc với  tại trung điểm .

  Vì  là hình chiếu của  trên , nên  có tọa độ là .

   là trung điểm của , ta có:

  

  Vậy, M"(1; 2; -3)

• Tìm tọa độ điểm M''':  vuông góc và cắt trục  tại trung điểm .

  Vì  nằm trên trục , tọa độ của nó có dạng .

  .

  .

  .

  

  Vậy, tọa độ điểm K là .

   là trung điểm của , ta có:

  

  Vậy, M'''(-1; 2; -3).