Bài 4 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

16:00:41Cập nhật: 26/09/2025

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 4 trang 64 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập các kiến thức cơ bản về hệ trục tọa độ Oxyz, bao gồm tìm tọa độ hình chiếu và các điểm đối xứng.

Đề bài:

Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz)

b) M', M'', M''' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM'

• MM'' vuông góc và cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM''

• MM''' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM'''

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần nhớ lại các quy tắc sau:

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng tọa độ: Để tìm hình chiếu của một điểm $M(x;y;z)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ , ta cho tọa độ z bằng 0, ta được $M_1(x;y;0)$ . Tương tự với các mặt phẳng khác.
Tọa độ trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì tọa độ của I là trung bình cộng của tọa độ A và B. $I(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$ .
Điều kiện vuông góc: Vector $\vec{u}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ khi $\vec{u}$ cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng đó. Hoặc $\vec{u}$ vuông góc với trục Ox khi hoành độ của $\vec{u}$ bằng 0.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm tọa độ hình chiếu của M trên các mặt phẳng tọa độ

Điểm M(1; 2; 3):

Hình chiếu trên (Oxy): Ta giữ nguyên tọa độ x và y, cho z = 0.
$M_1(1;2;0)$ .
Hình chiếu trên (Oyz): Ta giữ nguyên tọa độ y và z, cho x = 0.
$M_2(0;2;3)$ .
Hình chiếu trên (Oxz): Ta giữ nguyên tọa độ x và z, cho y = 0.
$M_3(1;0;3)$ .

b) Tìm tọa độ các điểm M', M", M'''

Tìm tọa độ điểm M': $O$ là trung điểm của $MM'$ .
Tọa độ của $O$ là $O(0;0;0)$ .
Ta có công thức trung điểm: $\begin{cases}x_O=\frac{x_M+x_{M'}}{2}\\y_O=\frac{y_M+y_{M'}}{2}\\z_O=\frac{z_M+z_{M'}}{2}\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases}0=\frac{1+x_{M'}}{2}\Rightarrow x_{M'}=-1\\0=\frac{2+y_{M'}}{2}\Rightarrow y_{M'}=-2\\0=\frac{3+z_{M'}}{2}\Rightarrow z_{M'}=-3\end{cases}$
Vậy, $M'(-1;-2;-3)$ .
Tìm tọa độ điểm M": $MM$ vuông góc với $(Oxy)$ tại trung điểm $H$ .
Vì $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(Oxy)$ , nên $H$ có tọa độ là $H(1;2;0)$ .
$H$ là trung điểm của $MM$ , ta có:
$\begin{cases}x_H=\frac{x_M+x_{M''}}{2}\\y_H=\frac{y_M+y_{M''}}{2}\\z_H=\frac{z_M+z_{M''}}{2}\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases}1=\frac{1+x_{M''}}{2}\Rightarrow x_{M''}=1\\2=\frac{2+y_{M''}}{2}\Rightarrow y_{M''}=2\\0=\frac{3+z_{M''}}{2}\Rightarrow z_{M''}=-3\end{cases}$
Vậy, M"(1; 2; -3)
Tìm tọa độ điểm M''': $MM'''$ vuông góc và cắt trục $Oy$ tại trung điểm $K$ .
Vì $K$ nằm trên trục $Oy$ , tọa độ của nó có dạng $K(0;y_K;0)$ .
$MK\perp Oy\Rightarrow\vec{MK}\cdot\vec{j}=0$ .
$\vec{MK}=(0-1;y_K-2;0-3)=(-1;y_K-2;-3)$ .
$\vec{j}=(0;1;0)$ .
$\vec{MK}\cdot\vec{j}=(-1)(0)+(y_K-2)(1)+(-3)(0)=y_K-2=0\Rightarrow y_K=2$
Vậy, tọa độ điểm K là $K(0;2;0)$ .
$K$ là trung điểm của $MM'''$ , ta có:
$\begin{cases}x_K=\frac{x_M+x_{M'''}}{2}\\y_K=\frac{y_M+y_{M'''}}{2}\\z_K=\frac{z_M+z_{M'''}}{2}\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases}0=\frac{1+x_{M'''}}{2}\Rightarrow x_{M'''}=-1\\2=\frac{2+y_{M'''}}{2}\Rightarrow y_{M'''}=2\\0=\frac{3+z_{M'''}}{2}\Rightarrow z_{M'''}=-3\end{cases}$
Vậy, M'''(-1; 2; -3).