Bài 14 trang 66 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

08:06:5121/03/2024

Trong hình học giải tích Oxyz, việc xác định các đại lượng hình học như độ dài đường cao hay diện tích tam giác đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt giữa các phép toán véc-tơ và công thức khoảng cách. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết Bài 14 trang 66 Toán 12 tập 1 sách Chân trời sáng tạo, một bài toán điển hình giúp bạn củng cố kiến thức về các khái niệm này.

Đề bài:

Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(0; -2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai phần chính, mỗi phần đòi hỏi một phương pháp giải quyết khác nhau.

a) Tính độ dài đường cao AH: Để tính độ dài đường cao AH, ta cần tìm tọa độ của chân đường cao H trên đoạn thẳng OB. H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng chứa OB. Một cách tiếp cận là sử dụng điều kiện vuông góc và cùng phương của các véc-tơ:

Vì H nằm trên đường thẳng OB, véc-tơ $\vec{BH}$ và $\vec{BO}$ sẽ cùng phương. Điều này cho phép ta biểu diễn tọa độ của H qua một tham số k.
Vì AH là đường cao, véc-tơ $\vec{AH}$ phải vuông góc với véc-tơ . Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai véc-tơ này bằng 0.

Từ hai điều kiện trên, ta sẽ tìm được giá trị của tham số k, từ đó xác định được tọa độ của H và tính độ dài đoạn thẳng AH.

b) Tính diện tích tam giác OAB: Sau khi đã có độ dài đường cao AH và độ dài cạnh đáy OB, ta dễ dàng tính diện tích tam giác OAB bằng công thức cơ bản: S_OAB = $\frac{1}{2}$ (đáy)x(chiều cao) $=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot AH$

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa:

a) Tính độ dài đường cao AH

Gọi H(x; y; z) là chân đường cao hạ từ A xuống OB. Tọa độ các véc-tơ liên quan:

$\vec{AH}=(x-1;y-2;z-(-1))=(x-1;y-2;z+1)$
$\vec{BO}=(0-0;0-(-2);0-3)=(0;2;-3)$
$\vec{BH}=(x-0;y-(-2);z-3)=(x;y+2;z-3)$

Vì nên $\vec{BH}$ cùng phương với $\vec{BO}$ .

Điều này có nghĩa là $\vec{BH}=k\vec{BO}$ với một số $k\in\mathbb{R}$ .

$\begin{cases}x=k\cdot 0\Rightarrow x=0\\y+2=k\cdot 2\Rightarrow y=2k-2\\z-3=k\cdot(-3)\Rightarrow z=-3k+3\end{cases}$

Vậy, tọa độ của H là H(0; 2k - 2; -3k + 3).

Thay tọa độ của H vào \vec{AH}, ta có:

Vì $AH\perp OB$ nên $\vec{AH}\cdot\vec{OB}=0$ .

$(-1)\cdot 0+(2k-4)\cdot 2+(-3k+4)\cdot(-3)=0$

$0+4k-8+9k-12=0$

$13k=20\Rightarrow k=\frac{20}{13}$

Thay $k=\frac{20}{13}$ vào biểu thức tọa độ của $\vec{AH}$ :

$x_{AH}=-1$
$y_{AH}=2\left(\frac{20}{13}\right)-4=\frac{40}{13}-\frac{52}{13}=-\frac{12}{13}$
$z_{AH}=-3\left(\frac{20}{13}\right)+4=-\frac{60}{13}+\frac{52}{13}=-\frac{8}{13}$

Vậy $\vec{AH}=\left(-1;-\frac{12}{13};-\frac{8}{13}\right)$

Độ dài đường cao AH là:

$AH=|\vec{AH}|=\sqrt{(-1)^2+\left(-\frac{12}{13}\right)^2+\left(-\frac{8}{13}\right)^2}$

b) Tính diện tích tam giác OAB

Độ dài cạnh đáy OB là:

$OB=|\vec{BO}|=\sqrt{0^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{0+4+9}=\sqrt{13}$

Diện tích tam giác OAB là:

$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot\,AH$

Vì 377 = 13.29 nên:

$S_{\triangle OAB}=\frac{\sqrt{13\cdot 13\cdot 29}}{26}=\frac{13\sqrt{29}}{26}=\frac{\sqrt{29}}{2}$

Bài toán này đã cho thấy một phương pháp hiệu quả để tính độ dài đường cao và diện tích tam giác trong không gian Oxyz. Điểm mấu chốt là sử dụng các tính chất véc-tơ để thiết lập và giải hệ phương trình:

(cùng phương)
(vuông góc)

Ngoài ra, bạn cũng có thể tính diện tích tam giác OAB bằng một phương pháp khác nhanh hơn là sử dụng tích có hướng của hai véc-tơ và $\vec{OB}$ . Công thức này là: $S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|\vec{OA}\times\vec{OB}|$