Hotline 0936685849

Bài 7 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

18:53:5320/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 7 trang 64 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập cách tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp bằng cách sử dụng tính chất vector bằng nhau, một kiến thức nền tảng của hình học tọa độ.

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C(4; 5; -5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần nhớ lại các tính chất vector của hình bình hành và hình hộp:

Trong hình bình hành MNPQ, ta có $\vec{MN}=\vec{QP}$ .
Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các mặt bên là hình bình hành. Ví dụ, mặt ABCD là hình bình hành, nên $\vec{AB}=\vec{DC}$ và $\vec{AD}=\vec{BC}$ . Tương tự, $\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{CC'}=\vec{DD'}$ .

Ta sẽ sử dụng các đẳng thức vector bằng nhau này để lập các phương trình tọa độ và tìm các tọa độ còn lại.

Lời giải chi tiết:

1. Tìm tọa độ điểm C

ABCD là hình bình hành nên $\vec{AD}=\vec{BC}$ .

Ta có:

$\vec{AD}=(1-1;-1-0;1-1)=(0;-1;0)$ .

$\vec{BC}=(x_C-2;y_C-1;z_C-2).$

$\Rightarrow\begin{cases}x_C-2=0\\y_C-1=-1\\z_C-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_C=2\\y_C=0\\z_C=2\end{cases}.$

Vậy, C(2; 0; 2).

2. Tìm tọa độ điểm D'

CDD'C' là hình bình hành nên $\vec{DC}=\vec{C'D'}\Leftrightarrow\vec{DC}=-\vec{D'C'}.$

$\vec{DC}=(2-1;0-(-1);2-1)=(1;1;1).$

$\vec{C'D'}=(x_{D'}-4;y_{D'}-5;z_{D'}-(-5))$ $=(x_{D'}-4;y_{D'}-5;z_{D'}+5).$

$\Rightarrow\begin{cases}1=-(x_{D'}-4)\\1=-(y_{D'}-5)\\1=-(z_{D'}+5)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{D'}=3\\y_{D'}=4\\z_{D'}=-6\end{cases}.$

Vậy, D'(3; 4; -6).

3. Tìm tọa độ điểm A'

ADD'A' là hình bình hành nên $\vec{AD}=\vec{A'D'}$ .

$\vec{AD}=(0;-1;0).$

$\vec{A'D'}=(x_{D'}-x_{A'};y_{D'}-y_{A'};z_{D'}-z_{A'})$ $=(3-x_{A'};4-y_{A'};-6-z_{A'}).$

$\Rightarrow\begin{cases}0=3-x_{A'}\\-1=4-y_{A'}\\0=-6-z_{A'}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{A'}=3\\y_{A'}=5\\z_{A'}=-6\end{cases}.$

Vậy, A'(3; 5; -6).

4. Tìm tọa độ điểm B'

ABB'A' là hình bình hành nên $\vec{AB}=\vec{A'B'}$ .

$\vec{AB}=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1).$

$\vec{A'B'}=(x_{B'}-x_{A'};y_{B'}-y_{A'};z_{B'}-z_{A'})$ $=(x_{B'}-3;y_{B'}-5;z_{B'}-(-6)).$

$\Rightarrow\begin{cases}1=x_{B'}-3\\1=y_{B'}-5\\1=z_{B'}+6\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{B'}=4\\y_{B'}=6\\z_{B'}=-5\end{cases}.$

Vậy, B'(4; 6; -5).

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện kỹ năng sử dụng vector để tìm tọa độ điểm trong không gian. Việc nắm vững tính chất vector của hình hộp là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tính: a) vectơ(a).vectơ(b) với vectơ(a) = (5; 2; - 4), vectơ(b) = (4; -2; 2)

Bài 2 trang 64 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho hai vectơ vectơ(a) = (0; 1; 3) $\overrightarrow{a}=(0;1;3)$ và vectơ(b) = (-2; 3; 1)