Hotline 0936685849

Bài 6 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

06:39:0321/03/2024

Góc giữa hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích Oxyz. Việc tính toán chính xác góc này giúp ta hiểu rõ hơn về vị trí tương đối của các vectơ trong không gian. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết Bài 6 trang 65 Toán 12 tập 1 sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào công thức và các bước tính toán cần thiết.

Đề bài:

Gọi α là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (0; -1; 0) và $\overrightarrow{v}$ = ( $\sqrt{3}$ ; 1; 0). Giá trị của góc α là:

A. α = π/6

B. α = π/3

C. α = 2π/3

D. α = π/2

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tính góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , chúng ta sử dụng công thức tính cosin của góc. Công thức này liên hệ giữa tích vô hướng của hai vectơ và độ dài của chúng.

Công thức tổng quát cho góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$ là:

$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$

Trong đó:

Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$ được tính bằng: $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
Độ dài của vectơ $\vec{u}$ là: $|\vec{u}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
Độ dài của vectơ $\vec{v}$ là: $|\vec{v}|=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}$

Sau khi tính được giá trị của $\cos\alpha$ , ta sẽ tìm giá trị của $\alpha$ bằng cách sử dụng các giá trị lượng giác đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức trên với hai vectơ đã cho: $\vec{u}=(0;-1;0)\$ và $\vec{v}=(\sqrt{3};1;0)$ .

Bước 1: Tính tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(0)(\sqrt{3})+(-1)(1)+(0)(0)=0-1+0=-1$

Bước 2: Tính độ dài của mỗi vectơ

Độ dài $\vec{u}$ : $|\vec{u}|=\sqrt{0^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{0+1+0}=\sqrt{1}=1$
Độ dài $\vec{v}$ : $|\vec{v}|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2}=\sqrt{3+1+0}=\sqrt{4}=2$

Bước 3: Tính $\cos\alpha$ và tìm $\alpha$

$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}=\frac{-1}{1\cdot 2}=-\frac{1}{2}$

Vì $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ , ta suy ra $\alpha=\frac{2\pi}{3}$ .

So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy đáp án C trùng khớp với kết quả vừa tính toán.

Đáp án đúng: C. $\alpha=\frac{2\pi}{3}$

Bài toán này đã củng cố kiến thức về cách tính góc giữa hai vectơ trong không gian Oxyz. Để giải quyết dạng bài này, bạn cần nắm vững hai công thức chính:

Công thức tích vô hướng: $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
Công thức độ dài vectơ: $|\vec{u}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
Công thức cosin góc: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$

Việc áp dụng linh hoạt các công thức này sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến góc, khoảng cách, và vị trí tương đối của các đối tượng trong không gian. Đây là một trong những kỹ năng nền tảng quan trọng cho các bài thi sắp tới.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 65 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Cho điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ . Tọa độ của điểm M là: A. M(0; 2; 1)...