Bài 7.11 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1.

Phân tích và Phương pháp giải:

Để chứng minh điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. Chuyển đổi phương trình: Đưa phương trình đường thẳng từ dạng hàm số ($y = ax + b$) về dạng tổng quát ($Ax + By + C = 0$).

2. Xác định vectơ pháp tuyến: Từ dạng tổng quát, suy ra tọa độ các vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và $\vec{n'}$.

3. Vận dụng điều kiện vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng vuông góc với nhau.

4. Sử dụng tích vô hướng: Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng $0$.

Giải bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0

Nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=(a;-1)$

Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0

Nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là: $\overrightarrow{n}'=(a';-1)$

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi: $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n}'\Leftrightarrow \overrightarrow{n}. \overrightarrow{n}'=0$

$\Leftrightarrow a.a'+(-1).(-1)=0$

$\Leftrightarrow a.a'+1=0\Leftrightarrow a.a'=-1$

Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.