Bài 7.9 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆. 

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆. 

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Phân tích và Phương pháp giải

Để giải quyết bài tập này, chúng ta cần vận dụng các công thức và tính chất sau:

• Công thức khoảng cách: Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ là:

  $d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

• Quan hệ song song: Hai đường thẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến. Nếu $\Delta: ax + by + c = 0$ thì đường thẳng song song có dạng $ax + by + c' = 0$ ($c' \neq c$).

• Quan hệ vuông góc: Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$ thì đường thẳng vuông góc với nó sẽ nhận vectơ chỉ phương của $\Delta$ làm vectơ pháp tuyến, tức là $\vec{n_{\perp}} = (b; -a)$ hoặc $(-b; a)$.

Giải bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

$d(A,\Delta )=\frac{|0+(-2)-4}{\sqrt{1^2+1^2}}$ $=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là $3\sqrt{2}$

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_\Delta =(1;1)$

Vì đường thẳng a // ∆, nên vectơ pháp tuyến của a là: $\overrightarrow{n}_a = \overrightarrow{n}_\Delta =(1;1)$

Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_a =(1;1)$ do đó phương trình đường thẳng a là:

1(x + 1) + 1(y – 0) = 0

hay x + y + 1 = 0. 

c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}_\Delta =(1;-1)$

Vì b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là $\overrightarrow{n}_b=\overrightarrow{u}_\Delta =(1;-1)$

Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_b =(1;-1)$ do đó phương trình đường thẳng b là:

1(x – 0) – 1(y – 3) = 0

⇔ x – y + 3 = 0.