Bài 16 trang 96 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 16 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trên mặt phẳng tọa độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai điểm A(1; 1) và B(– 1; 21) với các vectơ vận tốc tương ứng là $\overrightarrow{v}_A=(1;2)$, $\overrightarrow{v}_B=(1;-4)$ Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau hay không?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

1. Mô hình hóa Chuyển động: Sử dụng phương trình tham số của đường thẳng để mô tả vị trí của mỗi vật theo thời gian.

   • Vị trí vật $A$ tại thời điểm $t$: $\overrightarrow{r}_A(t) = \overrightarrow{r}_{A_0} + t \cdot \overrightarrow{v}_A$.

   • Vị trí vật $B$ tại thời điểm $t$: $\overrightarrow{r}_B(t) = \overrightarrow{r}_{B_0} + t \cdot \overrightarrow{v}_B$.

     (Trong đó $\overrightarrow{r}_{A_0}, \overrightarrow{r}_{B_0}$ là tọa độ ban đầu).

2. Điều kiện Gặp nhau: Hai vật gặp nhau khi tồn tại cùng một thời điểm $t \ge 0$ sao cho vị trí của chúng bằng nhau: $\overrightarrow{r}_A(t) = \overrightarrow{r}_B(t)$.

3. Giải hệ phương trình: Thiết lập hệ phương trình tọa độ và giải để tìm $t$.

Giải bài 16 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Vật A khởi hành từ điểm A(1; 1) với vectơ vận tốc là $\overrightarrow{v}_A=(1;2)$ 

Nên phương trình chuyển động của vật A là: $\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=1+2t \end{matrix}\right.$

Vật B khởi hành từ điểm B(– 1; 21) với vectơ vận tốc là $\overrightarrow{v}_B=(1;-4)$,

Nên phương trình chuyển động của vật B là:$\left\{\begin{matrix} x=-1+t'\\ y=21-4t' \end{matrix}\right.$

Giả sử 2 vật có thể gặp nhau, nghĩa là tồn tại thời điểm m (m > 0) để hai vật ở cùng một vị trí. 

Vị trí của vật khởi hành từ điểm A tại thời điểm m là:

$\left\{\begin{matrix} x=1+m\\ y=1+2m \end{matrix}\right.$

Vị trí của vật khởi hành từ điểm B tại thời điểm m là:

$\left\{\begin{matrix} x=-1+m\\ y=21-4m \end{matrix}\right.$

Vì hai vật có cùng vị trí tại thời điểm m nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 1+m=-1+m\\ 1+2m=21-4m \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình trên, ta thấy, phương trình đầu: 1 + m = – 1 + m

 ⇔ 1 = – 1 (vô lý),

Vậy phương trình này vô nghiệm, suy ra hệ vô nghiệm.  

Vậy hai vật không thể gặp nhau.