Bài 8 trang 96 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

$\left\{\begin{matrix} x+y\leq 6\\ 2x-y\leq 2\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

b) Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Biểu diễn miền nghiệm: Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình (tô đậm hoặc gạch bỏ miền không nghiệm). Miền nghiệm chung $D$ là phần giao của các miền nghiệm này. Các điều kiện $x \geq 0$ và $y \geq 0$ giới hạn miền $D$ trong góc phần tư thứ nhất.

2. Tìm GTLN, GTNN: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm mục tiêu $F(x; y)$ trên miền nghiệm $D$ (miền đa giác lồi) chỉ đạt được tại các đỉnh (các giao điểm) của đa giác đó.

Giải bài 8 trang 96 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: 

$\left\{\begin{matrix} x+y\leq 6\\ 2x-y\leq 2\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$

• Vẽ đường thẳng x + y = 6 trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm O(0; 0), ta thấy 0 + 0 < 6 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 6 chứa điểm O(0; 0) kể cả biên. 

• Vẽ đường thẳng 2x – y = 2 trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm O(0; 0), ta thấy 2 . 0 – 0 ≤ 2 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – 2 ≤ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng 2x – y = 2 chứa điểm O(0; 0) kể cả biên. 

Miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y\leq 6\\ 2x-y\leq 2\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$ như hình sau:

b) Từ kết quả câu a, ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC kể cả các cạnh của tứ giác. Tọa độ của các đỉnh của tứ giác OABC là: O(0; 0), A(1; 0), B(8/3; 10/3), C(0; 6). 

Ta có: F(x; y) = 2x + 3y. 

F(0; 0) = 0; F(1; 0) = 2; ; F(0; 6) = 18. 

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 2x + 3y trên miền D là 18. Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 2x + 3y trên miền D là 0.