Bài 8.4 trang 65 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Các bài toán đếm số tự nhiên

Bài 8.4 trang 65 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có bao nhiêu số tự nhiên

a) có 3 chữ số khác nhau?

b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?

c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?

d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Phân tích bài toán

Để giải quyết các bài toán lập số, chúng ta cần nắm vững quy tắc nhân và quy tắc cộng. Đặc biệt, cần lưu ý hai điều kiện "ngầm" sau:

1. Chữ số hàng trăm: Phải luôn khác $0$.

2. Tính chất khác nhau: Nếu đề bài yêu cầu "chữ số khác nhau", các công đoạn chọn số sau phải loại bỏ các chữ số đã chọn trước đó.

Giải bài 8.4 trang 65 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline{abc}$ với $a, b, c \in A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$.

a) Có 3 chữ số khác nhau

Điều kiện: $a \neq 0$ và $a, b, c$ đôi một khác nhau.

• Bước 1: Chọn $a$ từ tập $A \setminus \{0\}$, có 9 cách.

• Bước 2: Chọn $b$ từ tập $A \setminus \{a\}$, có 9 cách.

• Bước 3: Chọn $c$ từ tập $A \setminus \{a, b\}$, có 8 cách.

Theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn là: $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ (số).

b) Là số lẻ có 3 chữ số khác nhau

Điều kiện: $c \in \{1; 3; 5; 7; 9\}$, $a \neq 0$ và $a, b, c$ khác nhau. Ta ưu tiên chọn vị trí có ràng buộc nhiều nhất trước:

• Bước 1: Chọn $c$ từ tập $\{1; 3; 5; 7; 9\}$, có 5 cách.

• Bước 2: Chọn $a$ từ tập $A \setminus \{c, 0\}$, có 8 cách.

• Bước 3: Chọn $b$ từ tập $A \setminus \{c, a\}$, có 8 cách.

Theo quy tắc nhân, số các số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: $5 \cdot 8 \cdot 8 = 320$ (số).

c) Là số có 3 chữ số và chia hết cho 5

Điều kiện: $c \in \{0; 5\}$ và $a \neq 0$. Các chữ số ở đây có thể giống nhau.

• Bước 1: Chọn $c$ từ tập $\{0; 5\}$, có 2 cách.

• Bước 2: Chọn $a$ từ tập $A \setminus \{0\}$, có 9 cách.

• Bước 3: Chọn $b$ từ tập $A$, có 10 cách.

Theo quy tắc nhân, số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: $2 \cdot 9 \cdot 10 = 180$ (số).

d) Là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Điều kiện: $c \in \{0; 5\}$, $a \neq 0$ và $a, b, c$ khác nhau. Vì số $0$ ảnh hưởng đến cả vị trí $a$ và $c$, ta chia làm 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: $c = 0$

  • Chọn $a$ từ tập $A \setminus \{0\}$: Có 9 cách.

  • Chọn $b$ từ tập $A \setminus \{0, a\}$: Có 8 cách.

    Số lượng: $9 \cdot 8 = 72$ (số).

• Trường hợp 2: $c = 5$

  • Chọn $a$ từ tập $A \setminus \{0, 5\}$: Có 8 cách.

  • Chọn $b$ từ tập $A \setminus \{5, a\}$: Có 8 cách.

    Số lượng: $8 \cdot 8 = 64$ (số).

Áp dụng quy tắc cộng, tổng số các số thỏa mãn là: $72 + 64 = 136$ (số).

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc ưu tiên: Luôn chọn các chữ số có điều kiện ràng buộc trước (hàng đơn vị nếu là số lẻ/chia hết, hàng trăm để khác 0).

• Chia trường hợp: Khi số $0$ nằm trong điều kiện của chữ số tận cùng, hãy tách riêng trường hợp tận cùng bằng $0$ để việc chọn chữ số hàng trăm không bị nhầm lẫn.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên điều kiện $a \neq 0$: Đây là lỗi phổ biến nhất khiến kết quả lớn hơn thực tế.

• Không phân biệt "khác nhau" và "có thể giống nhau": Đề bài câu (c) không yêu cầu chữ số khác nhau, nếu bạn áp dụng quy tắc chỉnh hợp sẽ bị thiếu nghiệm.

• Nhầm lẫn quy tắc nhân và cộng: Ở câu (d), sau khi tính xong 2 trường hợp riêng biệt, ta phải cộng chúng lại chứ không được nhân.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra lại kết quả bài toán đếm:

1. Câu c: Số có 3 chữ số chia hết cho 5 là một dãy số cách đều: $100, 105, ..., 995$. Số số hạng = $(995 - 100) : 5 + 1 = 180$ (Khớp với kết quả).

2. Dùng máy tính Casio: Đối với các bài có chữ số "khác nhau", bạn có thể dùng phím nPr (Chỉnh hợp) sau khi đã cố định các vị trí ràng buộc.