Bài 8.11 trang 71 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Đếm số chia hết cho 5

Bài 8.11 trang 71 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán đếm số tự nhiên nâng cao, đòi hỏi sự kết hợp giữa quy tắc nhân, chỉnh hợp và phương pháp chia trường hợp.

1. Số chia hết cho 5: Có tận cùng là $0$ hoặc $5$.

2. Chữ số khác nhau: Các vị trí $a, b, c, d$ không được lặp lại giá trị.

3. Điều kiện hàng nghìn: Chữ số đầu tiên $a$ phải khác $0$.

Vì chữ số $0$ vừa liên quan đến điều kiện chia hết (ở hàng đơn vị), vừa liên quan đến điều kiện tồn tại số (ở hàng nghìn), nên ta bắt buộc phải chia làm hai trường hợp riêng biệt để tránh đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Giải bài 8.11 trang 71 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm có dạng: $\overline{abcd}$ (với $a, b, c, d \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$, $a \neq 0$ và $a, b, c, d$ đôi một khác nhau).

Để $\overline{abcd}$ chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng $d \in \{0; 5\}$.

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng $d = 0$

Khi $d = 0$, điều kiện $a \neq 0$ luôn được thỏa mãn vì các chữ số khác nhau.

• Chọn chữ số $a$: Có 9 cách chọn (chọn trong tập $\{1, 2, ..., 9\}$).

• Chọn chữ số $b$ và $c$: Ta chọn 2 chữ số từ 8 chữ số còn lại và sắp xếp thứ tự. Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 8:

  $$A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = 8 \times 7 = 56 \text{ (cách)}$$

• Số các số ở trường hợp này là: $9 \times 56 = 504$ (số).

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng $d = 5$

• Chọn chữ số $a$: $a$ phải khác $0$ và khác $d$ ($5$). Vậy $a$ có 8 cách chọn (trong tập $\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$).

• Chọn chữ số $b$ và $c$: Ta chọn 2 chữ số từ 8 chữ số còn lại (đã loại đi chữ số $a$ và $d$) và sắp xếp thứ tự. Số cách chọn là số chỉnh hợp chập 2 của 8:

  $$A_8^2 = 56 \text{ (cách)}$$

• Số các số ở trường hợp này là: $8 \times 56 = 448$ (số).

Kết luận

Vì hai trường hợp trên là rời nhau, theo quy tắc cộng, tổng số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là:

Đáp số: 952 số.

Tổng kết kiến thức

• Dấu hiệu chia hết: Luôn xét vị trí cuối cùng trước tiên đối với các bài toán chia hết cho 2 hoặc 5.

• Sự ưu tiên của số 0: Trong các bài toán lập số, vị trí hàng cao nhất ($a \neq 0$) và vị trí cuối cùng ($d=0$) là hai vị trí "nhạy cảm" cần xử lý tách biệt.

• Chỉnh hợp ($A_n^k$): Dùng khi chọn có thứ tự (như lập số, xếp hàng).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không chia trường hợp: Nhiều bạn gộp chung $d$ có 2 cách chọn, dẫn đến việc khó xác định số cách chọn cho $a$ (vì không biết $d$ đã lấy mất số $0$ hay chưa).

• Sai điều kiện $a \neq 0$: Ở trường hợp $d=5$, nếu vẫn chọn $a$ có 9 cách là sai vì $a$ không được bằng $0$.

• Dùng tổ hợp thay vì chỉnh hợp: Việc chọn chữ số $b, c$ có tính thứ tự ($23$ khác $32$) nên dùng $C_8^2$ là sai.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán đếm số có điều kiện ràng buộc ở cả đầu và cuối:

1. Chia để trị: Cứ thấy có số $0$ xuất hiện ở điều kiện chia hết (2, 5, chẵn) thì nên tách riêng trường hợp tận cùng bằng $0$.

2. Sử dụng máy tính Casio: Tính nhanh $A_8^2$ bằng cách bấm 8 -> SHIFT -> x -> 2.

3. Kiểm tra logic: Số lượng số tận cùng bằng $0$ thường nhiều hơn tận cùng bằng các số khác vì hàng nghìn có nhiều lựa chọn hơn.