Bài 8.13 trang 74 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Bài 8.13 trang 74 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x –1)⁵.

Phân tích bài toán

Để tìm hệ số của một số hạng cụ thể trong khai triển $(a + b)^n$, chúng ta cần vận dụng công thức nhị thức Newton. Với $n = 5$, ta có công thức tổng quát:

Trong bài toán này:

• Biểu thức là $(3x - 1)^5$, ta xác định: $a = 3x$ và $b = -1$.

• Yêu cầu tìm hệ số của $x^4$. Dựa vào công thức trên, số hạng chứa $x^4$ ứng với số hạng thứ hai: $5a^4b$.

Giải bài 8.13 trang 74 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Dựa vào công thức khai triển nhị thức Newton cho lũy thừa bậc 5, số hạng chứa $x^4$ trong khai triển của $(3x - 1)^5$ là:

Thực hiện tính toán từng phần:

1. Tính lũy thừa của $3x$: $(3x)^4 = 3^4 \cdot x^4 = 81x^4$.

2. Nhân các hệ số lại với nhau: $5 \cdot 81 \cdot (-1) = -405$.

Từ đó có số hạng chứa $x^4$ là:

Kết luận: Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x - 1)^5$ là: $-405$.

Tổng kết kiến thức

• Công thức nhị thức Newton: Giúp khai triển nhanh các biểu thức có dạng $(a+b)^n$.

• Phân biệt "Số hạng" và "Hệ số": * Số hạng chứa cả biến số (ví dụ: $-405x^4$).

  • Hệ số chỉ là phần số đứng trước biến (ví dụ: $-405$).

• Dấu của biểu thức: Khi $b$ là số âm (như $-1$), các số hạng có lũy thừa lẻ của $b$ sẽ mang dấu âm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên dấu trừ: Rất nhiều bạn xác định $b = 1$ thay vì $b = -1$, dẫn đến kết quả sai thành $405$.

• Không nâng lũy thừa hệ số của $x$: Chỉ tính $3x^4$ thay vì $(3x)^4 = 81x^4$. Hãy nhớ lũy thừa áp dụng cho cả số $3$ và biến $x$.

• Nhầm vị trí số hạng: Xác định sai số hạng tương ứng với số mũ của $x$, đặc biệt trong các khai triển phức tạp hơn.

Mẹo giải nhanh

1. Sử dụng Tam giác Pascal: Với mũ 5, các hệ số của các số hạng lần lượt là: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Bạn có thể thấy ngay số hạng chứa $x^4$ (bậc kế cao nhất) có hệ số tổ hợp là 5.

2. Kiểm tra số mũ: Trong mỗi số hạng của khai triển $(a+b)^n$, tổng số mũ của $a$ và $b$ luôn bằng $n$. Ở bài này: $x^4$ (mũ 4) thì số hạng còn lại phải là mũ 1 ($4 + 1 = 5$).

3. Bấm máy tính: Bạn có thể tính $C_5^1$ (hoặc $C_5^4$) trực tiếp trên máy tính Casio để tìm hệ số tổ hợp nếu không nhớ tam giác Pascal.