Bài 8.12 trang 74 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.12 trang 74 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Khai triển các đa thức:

a) (x – 3)⁴; 

b) (3x – 2y)⁴;

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴;

d) (x – 2y)⁵.

Phân tích và Hướng dẫn giải

1. Công thức khai triển nhị thức Newton cơ bản

Để giải bài tập này, các em cần ghi nhớ công thức tổng quát đối với bậc 4 và bậc 5:

• Bậc 4: $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

• Bậc 5: $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

2. Lưu ý về dấu

Khi khai triển các biểu thức có dấu trừ như $(a - b)^n$, chúng ta nên coi đó là $[a + (-b)]^n$ để tránh sai sót khi tính toán các lũy thừa của số âm.

Giải bài 8.12 trang 74 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Áp dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴ và (a + b)⁵, ta như sau: 

a) (x – 3)⁴ = x⁴ + 4 . x³ . (–3) + 6 . x² . (–3)² + 4 . x . (–3)³ + (–3)⁴

= x⁴ –12x³ + 54x² – 108x + 81.

b) (3x – 2y)⁴ = (3x)⁴ + 4 . (3x)³ . (– 2y) + 6 . (3x)² . (– 2y)² + 4 . (3x) . (– 2y)³ + (– 2y)⁴

= 81x⁴ – 216x³y + 216x²y² – 96xy³ + 16y⁴.

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴  

= (x⁴ + 4x³. 5 + 6x² . 5² + 4x . 5³ + 5⁴) + [x⁴ + 4x³ . (– 5) + 6x² . (– 5)² + 4x . (– 5)³ + (– 5)⁴]

= (x⁴ + x⁴) + (20x³ – 20x³) + (150x² + 150x²) + (500x – 500x) + (625 + 625)

= 2x⁴ + 300x² + 1250.

d) (x – 2y)⁵ = x⁵ + 5x⁴ . (– 2y) + 10x³ . (– 2y)² + 10x² . (– 2y)³ + 5x . (2y)⁴ + (– 2y)⁵

= x⁵ – 10x⁴y + 40x³y² – 80x²y³ + 80xy⁴ – 32y⁵.