Bài 8.15 trang 75 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Tính giá trị gần đúng bằng Nhị thức Newton

Bài 8.15 trang 75 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02⁵ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phân tích bài toán

Trong toán học, khai triển nhị thức Newton $(1 + x)^n$ với $x$ rất nhỏ thường được dùng để ước lượng giá trị của lũy thừa mà không cần tính toán phức tạp.

• Công thức tổng quát: $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots$

• Khi $x$ nhỏ (như $0,02$), các lũy thừa bậc cao ($x^2, x^3, \dots$) sẽ có giá trị cực nhỏ và có thể bỏ qua để lấy giá trị gần đúng.

Giải bài 8.15 trang 75 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính giá trị gần đúng của $1,02^5$

Ta biểu diễn $1,02^5$ dưới dạng nhị thức Newton: $1,02^5 = (1 + 0,02)^5$.

Khai triển đầy đủ của biểu thức này là:

Theo yêu cầu đề bài, ta chỉ sử dụng hai số hạng đầu tiên để tính giá trị gần đúng:

b) Tính sai số tuyệt đối

Bước 1: Tính giá trị chính xác bằng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có:

Bước 2: Tính sai số tuyệt đối ($\Delta$)

Công thức tính sai số tuyệt đối: $\Delta = | \text{Giá trị chính xác} - \text{Giá trị gần đúng} |$

Nếu làm tròn để đưa ra đánh giá sai số, ta thấy:

Kết luận: Giá trị gần đúng tính được ở câu a là 1,1 với sai số tuyệt đối khoảng 0,004.

Tổng kết kiến thức

• Ứng dụng của Nhị thức Newton: Đây là phương pháp nền tảng trong giải tích để xấp xỉ giá trị của các hàm số phức tạp quanh một điểm.

• Sai số tuyệt đối: Cho biết mức độ chênh lệch giữa con số ước tính và thực tế. Trong kỹ thuật, việc kiểm soát sai số này rất quan trọng.

• Lưu ý về số hạng: Càng dùng nhiều số hạng trong khai triển Newton, giá trị gần đúng sẽ càng tiến sát tới giá trị chính xác.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn số hạng: Một số bạn lấy nhầm số hạng thứ 2 và thứ 3 hoặc quên số 1 ở đầu. Hãy nhớ dãy hệ số Pascal cho mũ 5 là 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1.

• Lỗi tính toán thập phân: Khi nhân $5 \cdot 0,02$, đôi khi học sinh nhầm thành $0,01$ thay vì $0,1$.

• Hiểu sai về sai số: Quên dấu giá trị tuyệt đối khi tính sai số (mặc dù trong bài này giá trị chính xác lớn hơn nên kết quả vẫn dương).

Mẹo giải nhanh

1. Quy tắc ngón tay cái: Với biểu thức $(1 + x)^n$ khi $x$ nhỏ, giá trị gần đúng luôn xấp xỉ bằng $1 + nx$.

   • Ví dụ: $1,03^4 \approx 1 + 4 \cdot 0,03 = 1,12$.

2. Kiểm tra nhanh trên máy tính: Luôn bấm máy tính giá trị thực trước để biết mình có tính nhầm phần gần đúng quá xa hay không.

3. Đọc kỹ đề: Đề bài yêu cầu dùng "hai số hạng đầu tiên", hãy bám sát điều này để không làm thừa hoặc thiếu.