Bài 8.15 SGK Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.15 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02⁵ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phân tích bài toán

Trong toán học, khi số $x$ rất nhỏ, ta có thể dùng khai triển nhị thức Newton $(1 + x)^n$ để ước lượng giá trị. Nếu chỉ lấy hai số hạng đầu tiên, ta có công thức xấp xỉ:

Bài toán này yêu cầu chúng ta kiểm chứng độ chính xác của công thức xấp xỉ này đối với $1,02^5$.

Giải bài 8.15 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính giá trị gần đúng của $1,02^5$

Khai triển đầy đủ nhị thức Newton cho $(1 + 0,02)^5$:

Theo yêu cầu đề bài, ta chỉ sử dụng hai số hạng đầu tiên:

Kết luận: Giá trị gần đúng của $1,02^5$ khi lấy hai số hạng đầu là 1,1.

b) Tính sai số tuyệt đối

Bước 1: Tính giá trị chính xác bằng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính, ta có:

Bước 2: Tính sai số tuyệt đối ($\Delta$)

Sai số tuyệt đối là trị tuyệt đối của hiệu giữa giá trị chính xác và giá trị gần đúng:

Nếu làm tròn để đánh giá sai số, ta thấy $0,040808032 < 0,005$. Tuy nhiên, giá trị chính xác của sai số tuyệt đối thường được giữ nguyên hoặc làm tròn lên một chút để đảm bảo an toàn.

Kết luận: Sai số tuyệt đối của phép tính gần đúng ở câu a là khoảng 0,0041 (hoặc cụ thể là 0,0040808032).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Khai triển nhị thức Newton: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

• Công thức xấp xỉ: Với $x$ đủ nhỏ, $(1+x)^n \approx 1 + nx$. Đây là ứng dụng quan trọng trong vật lý và kỹ thuật khi cần tính nhanh các giá trị lũy thừa nhỏ.

• Sai số tuyệt đối: Đo lường mức độ chênh lệch giữa thực tế và tính toán gần đúng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn số hạng: Một số bạn nhầm lẫn "hai số hạng đầu" với các số hạng có số mũ cao nhất. Hãy nhớ thứ tự từ trái sang phải trong khai triển chuẩn.

• Lỗi bấm máy tính: Khi tính $1,02^5$, hãy đảm bảo nhập đúng số mũ để có giá trị so sánh chính xác.

• Sai lệch dấu trong sai số: Sai số tuyệt đối luôn mang giá trị dương (do có dấu trị tuyệt đối).

Mẹo giải nhanh

Để ước lượng nhanh giá trị $(1+x)^n$ trong các bài thi trắc nghiệm mà không cần máy tính:

Chỉ cần lấy số mũ nhân với phần lẻ rồi cộng thêm 1.

Ví dụ: $1,03^4 \approx 1 + 4 \cdot 0,03 = 1,12$.

Kết quả máy tính là $1,1255...$ — Độ chính xác cực kỳ cao cho các tính toán sơ bộ!