Bài 7.8 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) ∆₁: $\sqrt{3}x+y-4=0$ và ∆₂: $x+\sqrt{3}y+3=0$

b) d₁: $\left\{\begin{matrix} x=-1+2t\\ y=3+4t \end{matrix}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{matrix} x=3+s\\ y=1-3s \end{matrix}\right$  (t, s là các tham số). 

Phân tích và Phương pháp giải

Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ (với $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$) được xác định thông qua Cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương tương ứng.

Công thức trọng tâm

Nếu $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}(a_1; b_1)$ và $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_2}(a_2; b_2)$, ta có:

• Lưu ý: * Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông (từ $0^\circ$ đến $90^\circ$).

  • Nếu đường thẳng cho ở dạng tham số, ta xác định vectơ chỉ phương $\vec{u}(a; b)$ trước, sau đó có thể tính trực tiếp qua $\vec{u}$ hoặc chuyển sang vectơ pháp tuyến $\vec{n}(b; -a)$.

Giải bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁: $\sqrt{3}x+y-4=0$ là $\overrightarrow{n}_1=(\sqrt{3};1)$

và của ∆₂: $x+\sqrt{3}y+3=0$ là $\overrightarrow{n}_2=(1;\sqrt{3})$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

Ta có: $cos\alpha =|cos(\overrightarrow{n}_1,cos(\overrightarrow{n}_2)|$ $=\frac{\left | \overrightarrow{n}_1. \overrightarrow{n}_2 \right |}{| \overrightarrow{n}_1|.| \overrightarrow{n}_2|}$

$=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}.\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}$ $=\frac{2\sqrt{3}}{2.2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Nên góc giữa ∆₁ và ∆₂ là α = 30°.

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ là $\overrightarrow{u}_1=(2;4)$

của đường thẳng d₂ là $\overrightarrow{u}_2=(1;-3)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là $\overrightarrow{n}_1=(4;-2)$

của đường thẳng d₂ là $\overrightarrow{n}_2=(3;1)$

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có: 

$cos\alpha =|cos(\overrightarrow{n}_1,cos(\overrightarrow{n}_2)|$ $=\frac{\left | \overrightarrow{n}_1. \overrightarrow{n}_2 \right |}{| \overrightarrow{n}_1|.| \overrightarrow{n}_2|}$

$=\frac{|4.3+(-2).1|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}.\sqrt{3^2+1^2}}$ $=\frac{10}{\sqrt{20}.\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó, góc giữa d₁ và d₂ là φ = 45°.