Bài 4.18 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.18 Toán 12 Kết nối tri thức:

Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{R^2-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục $Ox$ là:

1. Xác định hàm $f(x)$ và cận: Hàm số $f(x) = y = \sqrt{R^2-x^2}$. Các cận là $a = R - h$ và $b = R$.

2. Thiết lập tích phân: $V = \pi \int_{R-h}^{R} (\sqrt{R^2-x^2})^2 dx$.

3. Tính tích phân: Sử dụng định lý Newton-Leibniz và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết bài 4.18 Toán 12 KNTT:

Tính thể tích của khối chỏm cầu là:

$V=\pi\int_{R-h}^{R}(R^2-x^2)dx$ $=\left.\begin{matrix}\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\end{matrix}\right|_{R-h}^{R}$

$=\begin{matrix}\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}-R^2(R-h)+\frac{(R-h)^3}{3}\right)\end{matrix}$

$=\begin{matrix}\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}-R^3+R^2h+\frac{R^3}{3}-R^2g+rh^2-\frac{h^3}{3}\right)\end{matrix}$

$=\begin{matrix}\pi\left(Rh^2-\frac{h^3}{3}\right)\end{matrix}$ $=\begin{matrix}\pi\,h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\end{matrix}$