Bài 4.32 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tính các tích phân cơ bản

Bài 4.32 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{1}^{4}(x^3-2\sqrt{x})dx$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cosx-sinx)dx$

c) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{sin^2x}$

d) $\int_{1}^{16}\frac{x-1}{\sqrt{x}}dx$

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tính tích phân xác định của các hàm số sơ cấp cơ bản.

• Kiến thức áp dụng:

  • Công thức Newton-Leibniz: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$.

  • Biến đổi căn thức về lũy thừa: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ và $1/\sqrt{x} = x^{-1/2}$.

  • Tách phân thức (câu d): $\frac{x-1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Giải bài 4.32 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) $\int_{1}^{4}(x^3 - 2\sqrt{x}) \, dx$

Ta đưa căn thức về dạng lũy thừa để tính toán:

Thay cận vào biểu thức:

• Tại $x=4$: $\frac{4^4}{4} - \frac{4}{3} \cdot 4 \cdot 2 = 64 - \frac{32}{3} = \frac{160}{3}$

• Tại $x=1$: $\frac{1}{4} - \frac{4}{3} = -\frac{13}{12}$

  Kết quả: $\frac{160}{3} - \left( -\frac{13}{12} \right) = \frac{160}{3} + \frac{13}{12} = \frac{653}{12}$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x - \sin x) \, dx$

Áp dụng nguyên hàm của hàm lượng giác:

Thay cận vào:

• Tại $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin(\pi/2) + \cos(\pi/2) = 1 + 0 = 1$

• Tại $x = 0$: $\sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

  Kết quả: $1 - 1 = 0$

c) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin^2 x}$

Ta có nguyên hàm của $1/\sin^2 x$ là $-\cot x$:

Thay cận vào:

• Tại $x = \pi/4$: $-\cot(\pi/4) = -1$

• Tại $x = \pi/6$: $-\cot(\pi/6) = -\sqrt{3}$

  Kết quả: $-1 - (-\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$

d) $\int_{1}^{16} \frac{x-1}{\sqrt{x}} \, dx$

Biến đổi phân thức: $\frac{x-1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1/2} - x^{-1/2}$.

Thay cận vào:

• Tại $x=16$: $\frac{2}{3}(16 \cdot 4) - 2 \cdot 4 = \frac{128}{3} - 8 = \frac{104}{3}$

• Tại $x=1$: $\frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$

  Kết quả: $\frac{104}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{108}{3} = 36$

Tổng kết kiến thức

1. Biến đổi lũy thừa: Luôn đưa các biểu thức chứa căn về dạng $x^n$ để áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

2. Nguyên hàm lượng giác: Chú ý phân biệt nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$ và nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$.

3. Giá trị lượng giác: Cần thuộc lòng các giá trị tại các góc đặc biệt như $\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$.

Những lỗi hay mắc phải

• Lỗi dấu: Ở câu (b), rất nhiều bạn nhầm nguyên hàm của $-\sin x$ thành $-\cos x$ dẫn đến kết quả sai. Hãy nhớ nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$, nên $-(-\cos x) = +\cos x$.

• Sai số khi thay cận: Quên không trừ đi giá trị tại cận dưới, đặc biệt khi giá trị đó khác 0 (như trường hợp $\cos 0 = 1$ ở câu b).

• Tính toán căn thức: Nhầm lẫn khi tính $x^{3/2}$, nên viết lại dưới dạng $x\sqrt{x}$ để dễ tính toán giá trị hơn.

Mẹo giải nhanh

• Sử dụng Casio: Luôn dùng phím tích phân ∫ trên máy tính để kiểm tra lại kết quả cuối cùng trước khi chọn đáp án trắc nghiệm.

• Đối với các góc lượng giác: Chú ý chế độ đơn vị (Radian) trên máy tính để không bị sai lệch số liệu.

• Câu (b) đặc biệt: Do hàm $\sin x$ và $\cos x$ có đồ thị đối xứng nhau trên $[0; \pi/2]$, bạn có thể dự đoán tổng đại số phần diện tích nằm trên và dưới trục hoành triệt tiêu nhau bằng 0.